Đề bài

Cho \(x \ge 2\). Giá trị lớn nhất của hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{\sqrt {x - 2} }}{x}\) bằng

• A. \(\dfrac{1}{{2\sqrt 2 }}\).
• B. \(\dfrac{2}{{\sqrt 2 }}\).
• C. \(\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\).
• D. \(-\dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\).

Phương pháp giải

- Bình phương \(f\left( x \right)\), biến đổi về dạng hằng đẳng thức.

- Đánh giá \({f^2}\left( x \right)\) rồi suy ra GTLN, GTNN của \(f\left( x \right)\).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Ta có \(f\left( x \right) \ge 0\) và \({\left[ {f\left( x \right)} \right]^2} = \dfrac{{x - 2}}{{{x^2}}} = \dfrac{1}{x} - \dfrac{2}{{{x^2}}} =-2\left(\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{1}{2x}\right)\\=-2\left(\dfrac{1}{x^2}-2.\dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4^2}\right)+2.\dfrac{1}{4^2}\\= \dfrac{1}{8} - 2{\left( {\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{4}} \right)^2} \le \dfrac{1}{8} \Rightarrow 0 \le f\left( x \right) \le \dfrac{1}{{2\sqrt 2 }}\)

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng \(\dfrac{1}{{2\sqrt 2 }}\)

Dấu \( = \) xảy ra khi \(\dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{4} \Leftrightarrow x = 4\)

Đáp án : A