Đề bài

Phương trình \(\sqrt 2 {x^4} - 2\left( {\sqrt 2 + \sqrt 3 } \right){x^2} + \sqrt {12}  = 0\)

• A. vô nghiệm
• B. Có $2$ nghiệm \(x = \sqrt {\dfrac{{\sqrt 2  + \sqrt 3  + \sqrt 5 }}{{\sqrt 2 }}} \), \(x =  - \sqrt {\dfrac{{\sqrt 2  + \sqrt 3  + \sqrt 5 }}{{\sqrt 2 }}} \)
• C. Có $2$ nghiệm \(x = \sqrt {\dfrac{{\sqrt 2  + \sqrt 3  - \sqrt 5 }}{{\sqrt 2 }}} \), \(x =  - \sqrt {\dfrac{{\sqrt 2  + \sqrt 3  - \sqrt 5 }}{{\sqrt 2 }}} \)
• D. Có $4$ nghiệm \(x = \sqrt {\dfrac{{\sqrt 2  + \sqrt 3  + \sqrt 5 }}{{\sqrt 2 }}} \), \(x =  - \sqrt {\dfrac{{\sqrt 2  + \sqrt 3  + \sqrt 5 }}{{\sqrt 2 }}} \), \(x = \sqrt {\dfrac{{\sqrt 2  + \sqrt 3  - \sqrt 5 }}{{\sqrt 2 }}} \), \(x =  - \sqrt {\dfrac{{\sqrt 2  + \sqrt 3  - \sqrt 5 }}{{\sqrt 2 }}} \)

Phương pháp giải

- Đặt \(t = {x^2}\;\;\left( {t \ge 0} \right)\) đưa phương trình đã cho về phương trình bậc hai với ẩn \(t\)

- Giải phương trình bậc hai với ẩn \(t\) rồi suy ra đáp số.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Đặt \(t = {x^2}\;\;\left( {t \ge 0} \right)\)

Phương trình (1) thành \(\sqrt 2 .{t^2} - 2\left( {\sqrt 2  + \sqrt 3 } \right)t + \sqrt {12}  = 0\)\(\left( 2 \right)\)

Ta có \(\Delta ' = 5 + 2\sqrt 6  - 2\sqrt 6  = 5\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = 5 > 0\\ - \dfrac{{ - 2\left( {\sqrt 2  + \sqrt 3 } \right)}}{{\sqrt 2 }} =  - \dfrac{b}{a} > 0\\\dfrac{{\sqrt {12} }}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{c}{a} > 0\end{array} \right.\)

Suy ra phương trình \(\left( 2 \right)\) có $2$  nghiệm dương phân biệt \({t_{1,2}} = \dfrac{{\sqrt 2  + \sqrt 3  \pm \sqrt 5 }}{{\sqrt 2 }}\)

Vậy phương trình \(\left( 1 \right)\) có \(4\)  nghiệm \({x_{1,2}} =  \pm \sqrt {\dfrac{{\sqrt 2  + \sqrt 3  + \sqrt 5 }}{{\sqrt 2 }}} ,\) \({x_{3,4}}= \pm \sqrt {\dfrac{{\sqrt 2  + \sqrt 3  - \sqrt 5 }}{{\sqrt 2 }}} \)

Đáp án : D