Đề bài

Cho đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} + 2x + 4y - 31 = 0\) có tâm \(I.\)  Đường thẳng \(d\) thay đổi cắt đường tròn \(\left( C \right)\) tại hai điểm phân biệt \(A,\,\,B\)  với \(AB\)  không là đường kính của đường tròn \(\left( C \right)\). Diện tích tam giác \(IAB\)  có giá trị lớn nhất bằng

• A. \(18.\)
• B. \(12.\)
• C. \(6.\)
• D. \(36.\)

Phương pháp giải

Sử dụng bất đẳng thức AM-GM tìm giá trị lớn nhất:

Với \(a,b \ge 0\) ta có: \(ab \le \dfrac{a^2+b^2}{2}\)

Lời giải của GV Loigiaihay.com

\(\left( C \right):{x^2} + {y^2} + 2x + 4y - 31 = 0 \)\(\Leftrightarrow \left( C \right):{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 36.\)

Vậy \(I\left( { - 1; - 2} \right),R = 6.\)

Gọi \(H\) là chân đường cao hạ từ \(I\) xuống \(AB\), thì \(H\) là trung điểm của \(AB\).

\({S_{IAB}} = \dfrac{1}{2}IH.AB = IH.HA\mathop  \le \limits^{AM - GM} \dfrac{{I{H^2} + H{A^2}}}{2} = \dfrac{{I{A^2}}}{2} = \dfrac{{{R^2}}}{2} = 18.\)

Vậy diện tích tam giác \(IAB\) có giá trị lớn nhất là \(18.\)

Đáp án : A