Đề bài

Cho \(\sin \alpha  + \cos \alpha  = \dfrac{3}{4},\dfrac{\pi }{2} < \alpha  < \pi .\) Tính \(\cos \alpha  - \sin \alpha .\)

• A. \(\dfrac{{\sqrt {23} }}{4}.\)
• B. \( \pm \dfrac{{\sqrt {23} }}{4}.\)
• C. \(\dfrac{{ - \sqrt {30} }}{4}.\)       
• D. \(\dfrac{{ - \sqrt {23} }}{4}.\)

Phương pháp giải

Từ \(\sin \alpha  + \cos \alpha  = \dfrac{3}{4}\) và \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\), tìm \(\cos \alpha ,\sin \alpha .\)

Lời giải của GV Loigiaihay.com

\(\sin \alpha  + \cos \alpha  = \dfrac{3}{4} \Rightarrow \cos \alpha  = \dfrac{3}{4} - \sin \alpha .\)

Lại có: \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\)

\( \Rightarrow {\sin ^2}\alpha  + {\left( {\dfrac{3}{4} - \sin \alpha } \right)^2} = 1 \Rightarrow 2{\sin ^2}\alpha  - \dfrac{3}{2}\sin \alpha  - \dfrac{7}{{16}} = 0\)

\( \Rightarrow \sin \alpha  = \dfrac{{3 + \sqrt {23} }}{8}\) (vì với \(\dfrac{\pi }{2} < \alpha  < \pi \) thì \(\sin \alpha  > 0)\).

\( \Rightarrow \cos \alpha  = \dfrac{3}{4} - \sin \alpha  = \dfrac{3}{4} - \dfrac{{3 + \sqrt {23} }}{8} = \dfrac{{3 - \sqrt {23} }}{8}\) \( \Rightarrow \cos \alpha  - \sin \alpha  =  - \dfrac{{\sqrt {23} }}{4}.\)

Đáp án : D