Đề bài

Xét sự biến thiên của hàm số $y = \dfrac{x}{{x - 1}}$. Chọn khẳng định đúng.

• A. Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó
• B. Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.
• C. Hàm số đồng biến trên \(\left( { - \infty ;1} \right)\), nghịch biến trên \(\left( {1; + \infty } \right)\).
• D. Hàm số nghịch biến trên \(\left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\).

Phương pháp giải

- Tìm TXĐ của hàm số.

- Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số trên từng khoảng của TXĐ:

+) Biến đổi \(T = \dfrac{{f({x_2}) - f({x_1})}}{{{x_2} - {x_1}}}\)

+) Xét \({x_1},{x_2} \in \left( {1; + \infty } \right)\) và đánh giá T

+) Xét \({x_1},{x_2} \in \left( { - \infty ;1} \right)\) và đánh giá T.

- Nếu:

+) \(T > 0\) trên khoảng đã xét thì hàm số đồng biến.

+) \( T < 0\) trên khoảng đã xét thì hàm số nghịch biến.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Hàm số xác định trên \(R\backslash \left\{ 1 \right\} = \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\).

Ta có: \(T = \dfrac{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}} = \dfrac{{\dfrac{{{x_2}}}{{{x_2} - 1}} - \dfrac{{{x_1}}}{{{x_1} - 1}}}}{{{x_2} - {x_1}}} = \dfrac{{{x_1} - {x_2}}}{{\left( {{x_2} - 1} \right)\left( {{x_1} - 1} \right)\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}} =  - \dfrac{1}{{\left( {{x_2} - 1} \right)\left( {{x_1} - 1} \right)}}\)

+) Nếu \({x_1},{x_2} \in \left( {1; + \infty } \right)\) thì \({x_1} - 1 > 0;{x_2} - 1 > 0 \Rightarrow T < 0\) nên hàm số nghịch biến trên \(\left( {1; + \infty } \right)\).

+) Nếu \({x_1},{x_2} \in \left( { - \infty ;1} \right)\) thì \({x_1} - 1 < 0;{x_2} - 1 < 0 \Rightarrow T < 0\) nên hàm số nghịch biến trên \(\left( { - \infty ;1} \right)\).

Vậy hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định.

Đáp án : A

Chú ý

Ta chỉ kết luận được hàm số nghịch biến trên từng khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\) và \(\left( { - \infty ;1} \right)\) chứ không kết luận được nó nghịch biến trên \(\left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\).

Chẳng hạn: với \({x_1} = 0 < 2 = {x_2}\) thì \(f\left( {{x_1}} \right) = 0 < 2 = f\left( {{x_2}} \right)\).