Đề bài

Cho \(a,\,\,b,\,\,c\) là độ dài ba cạnh của một tam giác. Mệnh đề nào sau đây không đúng?

• A. \({a^2} < ab + ac\)
• B. \(ab + bc > {b^2}\)    
• C. \(b{}^2 + {c^2} < {a^2} + 2bc\)      
• D. \(b{}^2 + {c^2} > {a^2} + 2bc\)

Phương pháp giải

Biến đổi các mệnh đề và áp dụng bất đẳng thức tam giác.

\(a,\,\,b,\,\,c\) là độ dài ba cạnh của một tam giác thì \(a > 0,\,\,b > 0,\,\,c > 0\).

Bất đẳng thức tam giác: \(\left\{ \begin{array}{l}a + b > c\\a + c > b\\b + c > a\end{array} \right.\)

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Vì \(a,\,\,b,\,\,c\) là độ dài ba cạnh của một tam giác nên \(a > 0,\,\,b > 0,\,\,c > 0\).

Áp dụng bất đẳng thức tam giác ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}a + b > c\\a + c > b\\b + c > a\end{array} \right.\)

+) Xét \({a^2} < ab + ac\)\( \Leftrightarrow {a^2} < a\left( {b + c} \right)\) \( \Leftrightarrow a < b + c\,\,\,\,\left( {tm} \right)\)

\( \Rightarrow \) Đáp án A đúng.

+) Xét \(ab + bc > {b^2}\) \( \Leftrightarrow b\left( {a + c} \right) > {b^2}\)\( \Leftrightarrow a + c > b\,\,\,\left( {tm} \right)\)

\( \Rightarrow \) Đáp án B đúng.

+) Xét \(b{}^2 + {c^2} < {a^2} + 2bc\)\( \Leftrightarrow b{}^2 + {c^2} - 2bc < {a^2}\)\( \Leftrightarrow {\left( {b - c} \right)^2} < {a^2}\)

\( \Leftrightarrow (b - c - a)(b-c+a)<0 \left( {tm} \right)\)

\( \Rightarrow \) Đáp án C đúng.

+) Xét \(b{}^2 + {c^2} > {a^2} + 2bc\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow b{}^2 + {c^2} - 2bc > {a^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {b - c} \right)^2} > {a^2}\\ \Leftrightarrow |b - c| > a\left( {ktm} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Đáp án D sai.

Đáp án : D