Đề bài

Cho \(a,\,\,b,\,\,c\) dương. Bất đẳng thức nào sau đây đúng?

• A. \(\left( {a + b + c} \right)\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}} \right) \ge 3\)
• B. \(\left( {a + b + c} \right)\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}} \right) \le 9\)    
• C. \(\left( {a + b + c} \right)\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}} \right) \ge 9\)
• D. \(\left( {a + b + c} \right)\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}} \right) \le 3\)

Phương pháp giải

+) Bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương \(a,\,\,b,\,\,c\):

\(a + b + c \ge 3\sqrt[3]{{abc}}\)

+) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương \(\dfrac{1}{a},\,\,\dfrac{1}{b},\,\,\dfrac{1}{c}\).

+) Sau đó, áp dụng hệ quả của bất đẳng thức \(\left\{ \begin{array}{l}a > b \ge 0\\c > d \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow ac > bd\).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Vì \(a,\,\,b,\,\,c > 0\) nên \(\dfrac{1}{a},\,\,\dfrac{1}{b},\,\,\dfrac{1}{c} > 0\).

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương \(a,\,\,b,\,\,c\) ta có:

\(a + b + c \ge 3\sqrt[3]{{abc}}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương \(\dfrac{1}{a},\,\,\dfrac{1}{b},\,\,\dfrac{1}{c}\) ta có:

\(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \ge 3\sqrt[3]{{\dfrac{1}{{abc}}}}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {a + b + c} \right)\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}} \right) \ge 3\sqrt[3]{{abc}}.3\sqrt[3]{{\dfrac{1}{{abc}}}}\\ \Leftrightarrow \left( {a + b + c} \right)\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}} \right) \ge 3.3\sqrt[3]{{\dfrac{{abc}}{{abc}}}}\\ \Leftrightarrow \left( {a + b + c} \right)\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}} \right) \ge 9\end{array}\)

Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c\).

Đáp án : C