Đề bài

Hàm số $f\left( x \right) = 2\sin 2x - 3$ đạt cực tiểu tại:

• A. $x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi $ 
• B. $x = \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k\pi }}{2}$
• C. $x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi $
• D. $x = \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{\left( {2k + 1}\right)\pi }{2} $

Phương pháp giải

Quy tắc 2:

- Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.

- Bước 2: Tính $f'\left( x \right)$, giải phương trình $f'\left( x \right) = 0$ và kí hiệu ${x_1},...,{x_n}$ là các nghiệm của nó.

- Bước 3: Tính $f''\left( x \right)$ và $f''\left( {{x_i}} \right)$.

- Bước 4: Dựa và dấu của $f''\left( {{x_i}} \right)$ suy ra điểm cực đại, cực tiểu:

+ Tại các điểm ${x_i}$ mà $f''\left( {{x_i}} \right) > 0$ thì đó là điểm cực tiểu của hàm số.

+ Tại các điểm ${x_i}$ mà $f''\left( {{x_i}} \right) < 0$ thì đó là điểm cực đại của hàm số.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Ta có: $f\left( x \right) = 2\sin 2x - 3$

TXĐ: $D = R.$

$f'\left( x \right) = 4\cos 2x$, $f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \cos 2x = 0 \Leftrightarrow 2x =\dfrac{\pi }{2} + k\pi  $ $\Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k\pi }}{2}$, $k \in Z$

$f''\left( x \right) =  - 8\sin 2x$

Ta có: $f''\left( {\dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k\pi }}{2}} \right) =  - 8\sin \left( {\dfrac{\pi }{2} + k\pi } \right) $  ,  $k \in Z$

Khi $k=2n$ thì \(\sin \left( {\dfrac{\pi }{2} + 2n\pi } \right) = \sin \dfrac{\pi }{2} = 1\) nên \(f''\left( {\dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{2n\pi }}{2}} \right) =  - 8 < 0\)

Khi $k=2n+1$ thì \(\sin \left( {\dfrac{\pi }{2} + \left( {2n + 1} \right)\pi } \right) = \sin \dfrac{{3\pi }}{2} =  - 1\) nên \(f''\left( {\dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{\left( {2n + 1} \right)\pi }}{2}} \right) = 8 > 0\)

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại $x = \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{\left( {2k + 1}\right)\pi }{2} $

Đáp án : D