Đề bài

Cho tam giác $ABC,AB = AC = 10cm,$$BC = 12cm.$ Gọi $I$ là giao điểm của các đường phân giác của tam giác $ABC.$ Tính $BI$ ?

• A. $9\,cm$
• B. $6\,cm$          
• C. $45\,cm$        
• D. $3\sqrt 5 \,cm$

Phương pháp giải

- Áp dụng các tính chất, định lý đã học để tìm ra các dữ kiện cần thiết.
- Áp dụng tính chất đường phân giác của tam giác để tìm ra tỉ lệ thức phù hợp.
- Sử dụng dữ kiện và tỉ lệ thức vừa tìm được để tính $BI$ .

Lời giải của GV Loigiaihay.com

- Ta có $AB = AC = 10 cm$

Suy ra $\Delta ABC$ cân tại A.

- Có I là giao các đường phân giác của $\Delta ABC$.

Suy ra $AI, BI$ là đường phân giác của $\Delta ABC$.

- Gọi $H$ là giao của $AI$ và $BC.$

- Khi đó ta có $AH$ vừa là đường phân giác, vừa là đường cao,

vừa là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy của tam giác cân $ABC$ (tính chất tam giác cân).

$\Rightarrow$ $H$ là trung điểm của cạnh $BC$ $\Rightarrow BH = HC = \dfrac{{BC}}{2} = \dfrac{{12}}{2} = 6\;cm$.

Áp dụng định lý Pitago trong tam giác ABH vuông tại H, ta có:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,A{H^2} + B{H^2} = A{B^2}\\ \Leftrightarrow A{H^2} + {6^2} = {10^2}\\ \Leftrightarrow A{H^2} = 100 - 36 = 64\\ \Rightarrow AH = 8\end{array}$

Vì $BI$ là phân giác của tam giác $ABH$ nên:

$\begin{array}{l}\dfrac{{AB}}{{BH}} = \dfrac{{AI}}{{IH}} = \dfrac{{AH - IH}}{{IH}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{10}}{6} = \dfrac{{8 - IH}}{{IH}}\\ \Leftrightarrow 10IH = 48 - 6IH\\ \Leftrightarrow IH = 3\end{array}$

Áp dụng định lý Pitago trong tam giác $BHI$ vuông tại $H,$ ta có:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,B{I^2} = I{H^2} + B{H^2}\\ \Leftrightarrow B{I^2} = {3^2} + {6^2}\\ \Leftrightarrow B{I^2} = 45\\ \Rightarrow BI = 3\sqrt 5 \end{array}$

Đáp án : D