Đề bài

Cho tam giác $ABC$ , $\widehat A = {90^0}$, $AB = 15 cm, AC = 20 cm,$ đường cao $AH$ $(H \in BC)$. Tia phân giác của $\widehat {HAB}$ cắt $HB$ tại $D$ . Tia phân giác của $\widehat {HAC}$ cắt $HC$ tại $E$ . Tính $DH$ ?

• A. $4cm$            
• B. $6cm$
• C. $9cm$
• D. $12cm$

Phương pháp giải

Bước 1: Áp dụng các tính chất và định lý đã học để tìm ra dữ kiện cần thiết.

Bước 2: Áp dụng tính chất đường phân giác của tam giác để tìm ra giá trị của $DH$ .

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác $ABC$ vuông tại$A$ , ta có:

$\begin{array}{l}A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\\ \Leftrightarrow {15^2} + {20^2} = B{C^2}\\ \Rightarrow BC = 25\end{array}$

Ta có: ${S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}.AB.AC = \dfrac{1}{2}.AH.BC$

$\Rightarrow AH = \dfrac{{AB.AC}}{{BC}} = \dfrac{{15.20}}{{25}} = 12$

Áp dụng định lý Pitago trong tam giác $AHB$ vuông tại$H$ , ta có:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,A{B^2} = A{H^2} + H{B^2}\\ \Leftrightarrow {15^2} = {12^2} + H{B^2}\\ \Rightarrow H{B^2} = 81 \Rightarrow HB = 9\\ \Rightarrow HC = BC - HB = 25 - 9 = 16.\end{array}$

Vì $AD$ là phân giác của tam giác $ABH$ nên:

$\begin{array}{l}\dfrac{{AB}}{{AH}} = \dfrac{{BD}}{{DH}} \Leftrightarrow \dfrac{{AB}}{{AH}} = \dfrac{{BH - DH}}{{DH}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{15}}{{12}} = \dfrac{{9 - DH}}{{DH}} \Leftrightarrow 15DH = 108 - 12DH \Leftrightarrow DH = 4\,cm.\end{array}$

Đáp án : A