Cho hàm số $y = {x^3} - \left( {m + 3} \right){x^2} + \left( {2m - 1} \right)x + 3\left( {m + 1} \right)$. Tập hợp tất cả các giá trị của $m$ để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ âm là:
-
A.
$\emptyset $
-
B.
$\left\{ { - 2;2} \right\}$
-
C.
$\left( { - \infty ; - 4} \right)$
-
D.
$\left( { - 1; + \infty } \right)\backslash \left\{ 2 \right\}$
- Xét phương trình hoành độ giao điểm.
- Nêu điều kiện để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ âm $ \Leftrightarrow $ phương trình $\left( * \right)$ có 3 nghiệm phân biệt âm.
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành là:
${x^3} - \left( {m + 3} \right){x^2} + \left( {2m - 1} \right)x + 3\left( {m + 1} \right) = 0$
$ \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left[ {{x^2} - \left( {m + 4} \right)x + 3\left( {m + 1} \right)} \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = - 1 \hfill \\{x^2} - \left( {m + 4} \right)x + 3\left( {m + 1} \right) = 0\left( * \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. $
Để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại $3$ điểm phân biệt có hoành độ âm thì phương trình $\left( * \right)$ có 2 nghiệm âm phân biệt khác $ - 1$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \Delta > 0 \hfill \\ - \dfrac{b}{a} < 0 \hfill \\ \dfrac{c}{a} > 0 \hfill \\ y\left( { - 1} \right) \ne 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. $ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {\left( {m - 2} \right)^2} > 0 \hfill \\ m + 4 < 0 \hfill \\ 3\left( {m + 1} \right) > 0 \hfill \\ {\left( { - 1} \right)^2} - \left( {m + 4} \right)\left( { - 1} \right) + 3\left( {m + 1} \right) \ne 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. $ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m \ne 2 \hfill \\ m < - 4 \hfill \\ m > - 1 \hfill \\ m \ne - 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. $ $\Leftrightarrow m \in \emptyset $
Đáp án : A
HS thường hay nhầm lẫn điều kiện để phương trình bậc hai có 2 nghiệm phân biệt âm, đó là $S < 0,P < 0$ dẫn đến chọn nhầm đáp án D là sai.
Cách nhẩm nghiệm đặc biệt của phương trình f(x)=0 với f(x) là một đa thức:
$f\left( x \right) = {a_n}{x^n} + {a_{n - 1}}{x^{n - 1}} + ... + {a_0}\left( {{a_n} \ne 0} \right)$
+) Nếu tổng các hệ số bằng 0 thì pt có nghiệm x=1.
+) Nếu tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ thì pt có nghiệm x=-1.
+) Ngoài ra, nếu pt có nghiệm hữu tỉ thì nghiệm này có dạng $\frac{m}{n}$ với m là ước của \(a_0\), n là ước của \(a_n\).
Do đó ta đi thử các số có dạng m/n như trên, số nào thỏa mãn pt thì là nghiệm.
Trường hợp pt không có nghiệm hữu tỉ thì thường không xét đến trong trường phổ thông.
Các bài tập cùng chuyên đề
