Đề bài

Cho tam giác ABC có AM là đường trung tuyến, N là điểm trên đoạn thẳng AM. Gọi D là giao điểm của CN và AB, E là giao điểm của BN và AC. Chọn khẳng định đúng nhất.

• A. $DE{\rm{//}}BC$     
• B. $\dfrac{{AD}}{{BD}} = \dfrac{{AE}}{{CE}}$       
• C. Cả A, B đều đúng      
• D. Cả A, B đều sai

Phương pháp giải

Bước 1: Vẽ thêm đường thẳng song song để hình thành các cặp đoạn thẳng tỉ lệ.

Bước 2: Áp dụng định lý Talet và tính chất bắc cầu để tìm ra tỉ lệ thức cần chứng minh

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Kẻ đường thẳng đi qua $A$ song song với $BC$ lần lượt cắt $CD$ và $BE$ kéo dài  tại $B'$ và $C'$.

Vì M là trung điểm của $BC$ nên $BM = MC$.

Vì $AB'{\rm{//}}MC$, áp dụng định lý Talet ta có:

$\dfrac{{AN}}{{NM}} = \dfrac{{AB'}}{{MC}}$ (1)

Vì $AC'{\rm{//}}\,BM$, áp dụng định lý Talet ta có:

$\dfrac{{AN}}{{NM}} = \dfrac{{AC'}}{{BM}}$ (2)

Từ (1) và (2) ta có: $\dfrac{{AB'}}{{MC}} = \dfrac{{AC'}}{{BM}}$

Ta có $M$ là trung điểm của $BC$ $\Rightarrow$$BM = MC$$\Rightarrow$$AB' = AC'$ (*)

Vì $AB'{\rm{//}}\,BC$, áp dụng định lý Talet ta có:

$\dfrac{{AD}}{{DB}} = \dfrac{{AB'}}{{BC}}$ (**)

Vì $AC'{\rm{//}}\,BC$, áp dụng định lý Talet ta có:

$\dfrac{{AE}}{{EC}} = \dfrac{{AC'}}{{BC}}$ (***)

Từ (*), (**) và (***) ta có:

$\dfrac{{AD}}{{DB}} = \dfrac{{AB'}}{{BC}} = \dfrac{{AE}}{{EC}} = \dfrac{{AC'}}{{BC}}$

$\Rightarrow \dfrac{{AD}}{{DB}} = \dfrac{{AE}}{{EC}}$$\Leftrightarrow \dfrac{{AD}}{{BD}} = \dfrac{{AE}}{{CE}}$ hay $DE{\rm{//}}BC$

Đáp án : C