Đề bài

Cho tam giác ABC có AM là đường trung tuyến, N là điểm trên đoạn thẳng AM. Gọi D là giao điểm của CN và AB, E là giao điểm của BN và AC. Chọn khẳng định đúng nhất.

• A. \(DE{\rm{//}}BC\)     
• B. \(\dfrac{{AD}}{{BD}} = \dfrac{{AE}}{{CE}}\)       
• C. Cả A, B đều đúng      
• D. Cả A, B đều sai\(\)

Phương pháp giải

Bước 1: Vẽ thêm đường thẳng song song để hình thành các cặp đoạn thẳng tỉ lệ.

Bước 2: Áp dụng định lý Talet và tính chất bắc cầu để tìm ra tỉ lệ thức cần chứng minh

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Kẻ đường thẳng đi qua $A$ song song với $BC$ lần lượt cắt $CD$ và $BE$ kéo dài  tại \(B'\) và \(C'\).

Vì M là trung điểm của $BC$ nên \(BM = MC\).

Vì \(AB'{\rm{//}}MC\), áp dụng định lý Talet ta có:

\(\dfrac{{AN}}{{NM}} = \dfrac{{AB'}}{{MC}}\) (1)\(\)

Vì \(AC'{\rm{//}}\,BM\), áp dụng định lý Talet ta có:

\(\dfrac{{AN}}{{NM}} = \dfrac{{AC'}}{{BM}}\) (2)

Từ (1) và (2) ta có: \(\dfrac{{AB'}}{{MC}} = \dfrac{{AC'}}{{BM}}\)

Ta có $M$ là trung điểm của $BC$ \( \Rightarrow \)\(BM = MC\)\( \Rightarrow \)\(AB' = AC'\) (*)

Vì \(AB'{\rm{//}}\,BC\), áp dụng định lý Talet ta có:

\(\dfrac{{AD}}{{DB}} = \dfrac{{AB'}}{{BC}}\) (**)

Vì \(AC'{\rm{//}}\,BC\), áp dụng định lý Talet ta có:

\(\dfrac{{AE}}{{EC}} = \dfrac{{AC'}}{{BC}}\) (***)

Từ (*), (**) và (***) ta có:

\(\dfrac{{AD}}{{DB}} = \dfrac{{AB'}}{{BC}} = \dfrac{{AE}}{{EC}} = \dfrac{{AC'}}{{BC}}\)

\( \Rightarrow \dfrac{{AD}}{{DB}} = \dfrac{{AE}}{{EC}}\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{AD}}{{BD}} = \dfrac{{AE}}{{CE}}\) hay \(DE{\rm{//}}BC\)

Đáp án : C