Đề bài

Cho hàm số $y = {x^3} + 3{x^2} + m$ có đồ thị $\left( C \right)$.Để đồ thị $\left( C \right)$ cắt trục hoành tại ba điểm $A,B,C$ sao cho $C$ là trung điểm của $AB$ thì  giá trị của tham số $m$ là:

• A. $m =  - 2$       
• B. $m = 0$
• C. $m =  - 4$       
• D. $ - 4 < m < 0$

Phương pháp giải

Đồ thị hàm số bậc ba cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt thỏa mãn một điểm là trung điểm của hai điểm còn lại nếu và chỉ nếu trung điểm đó chính là tâm đối xứng của đồ thị hàm số.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Vì đồ thị của hàm đa thức bậc 3 luôn có tâm đối xứng $I\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ có hoành độ ${x_0}$ là nghiệm của phương trình $y''\left( {{x_0}} \right) = 0$

Vậy đồ thị $\left( C \right)$ cắt trục hoành tại ba điểm $A, B, C$ sao cho $C$ là trung điểm $AB$

$ \Leftrightarrow $$C$ là tâm đối xứng của $\left( C \right)$

Ta có:

$y' = 3{x^2} + 6x \Rightarrow y'' = 6x + 6 = 0 \Leftrightarrow x =  - 1 \Rightarrow y = m + 2 \Rightarrow C\left( { - 1;m + 2} \right)$$C \in Ox \Leftrightarrow y = 0 \Leftrightarrow m + 2 = 0 \Leftrightarrow m =  - 2$

Đáp án : A