Bài 71 trang 103 SGK Toán 8 tập 1

Đề bài

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Lấy $M$ là một điểm bất kì thuộc cạnh $BC$. Gọi $MD$ là đường vuông góc kẻ từ $M$ đến $AB$, $ME$ là đường vuông góc kẻ từ $M$ đến $AC$, $O$ là trung điểm của $DE$.

a) Chứng mình rằng ba điểm $A, O, M$ thẳng hàng.

b) Khi điểm $M$ di chuyển trên cạnh $BC$ thì điểm $O$ di chuyển trên đường nào ?

c) Điểm $M$ ở vị trí nào trên cạnh $BC$ thì $AM$ có độ dài nhỏ nhất?

Lời giải chi tiết

a) Tứ giác $ADME$ có: $\widehat {DA{\rm{E}}} = \widehat {AD{\rm{M}}} = \widehat {A{\rm{EM}}} = {90^0}\left( {giả \,\, thiết} \right)$

 $\Rightarrow$ Tứ giác $ADME$ là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật) 

Vì $O$ là trung điểm của đường chéo $DE$ (giả thiết)

 $\Rightarrow$ $O$ cũng là trung điểm của $AM$ (tính chất hình chữ nhật)

Vậy $A, O, M$ thẳng hàng.

b) Kẻ $AH ⊥ BC$, kẻ $OK ⊥ BC$

Cách 1:

Ta có $OA = OM$ (do $O$ là trung điểm của $AM$)

$OK // AH$ (do cùng vuông góc với $BC$). 

 $\Rightarrow$ $K$ là trung điểm của $MH$ (Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba)

 $\Rightarrow$  $OK =\dfrac{1}{2}AH$ (tính chất đường trung bình của tam giác)

Điểm $O$ cách đoạn $BC$ cố định một khoảng không đổi bằng $\dfrac{1}{2}AH$.

Mặt khác khi $M$ trùng $C$ thì $O$ chính là trung điểm của $AC$, khi $M$ trùng $B$ thì $O$ chính là trung điểm của $AB$.

Vậy $O$ di chuyển trên đoạn thẳng $PQ$ là đường trung bình của $\Delta ABC$.

Cách 2:

Vì $O$ là trung điểm của $AM$ nên $HO$ là trung tuyến ứng với cạnh huyền $AM$. Do đó $OA = OH$. Suy ra điểm $O$ di chuyển trên đường trung trực của $AH$.

Mặt khác vì $M$ di chuyển trên đoạn $BC$. Vậy điểm $O$ di chuyển trên đoạn thẳng $PQ$ là đường trung bình của $ABC$.

c) Ta có $AH$ là đường cao hạ từ $A$ đến $BC$ do đó $AM\ge AH$ (trong tam giác vuông, cạnh huyền là cạnh lớn nhất).

Vậy $AM$ nhỏ nhất bằng $AH$  khi $M$ trùng $H$.

Loigiaihay.com