Bài 6 trang 57 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2

Đề bài

Không giải phương trình \(3{x^2} + 5x - 6 = 0\) , hãy tính giá trị các biểu thức sau biết x₁, x₂ là nghiệm của phương trình trên:

a) \(A = (3{x_1} - 2{x_2}) + (3{x_2} - 2{x_1})\)

b)\(B = \dfrac{{{x_1}}}{{{x_2} - 1}} + \dfrac{{{x_2}}}{{{x_1} - 1}}\)

c)\(C = \left| {{x_1} - {x_2}} \right|\)

d)\(D = \dfrac{{{x_1} + 2}}{{{x_1}}} + \dfrac{{{x_2} + 2}}{{{x_2}}}\)

Lời giải chi tiết

Áp dụng hệt thức Viet cho phương trình \(3{x^2} + 5x - 6 = 0\)ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - \dfrac{5}{3}\\{x_1}.{x_2} =  - 2\end{array} \right.\)

a) \(A = (3{x_1} - 2{x_2}) + (3{x_2} - 2{x_1}) \) \(= 9{x_1}{x_2} - 6x_1^2 - 6x_2^2 + 4{x_1}{x_2}\) \( = 13{x_1}{x_2} - 6\left( {x_1^2 + x_2^2} \right) \) \(= 13{x_1}{x_2} - 6\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}} \right]\) \( = 13.\left( { - 2} \right) - 6.\left[ {{{\left( {\dfrac{{ - 5}}{3}} \right)}^2} - 2.\left( { - 2} \right)} \right] \) \(=  - 26 - 6.\dfrac{{61}}{9} =  - \dfrac{{200}}{3}\)

b) \(B = \frac{{{x_1}}}{{{x_2} - 1}} + \frac{{{x_2}}}{{{x_1} - 1}}\)\( = \frac{{{x_1}\left( {{x_1} - 1} \right) + {x_2}\left( {{x_2} - 1} \right)}}{{\left( {{x_2} - 1} \right)\left( {{x_1} - 1} \right)}}\)\( = \frac{{x_1^2 - {x_1} + x_2^2 - {x_2}}}{{{x_1}{x_2} - {x_1} - {x_2} + 1}}\)\( = \frac{{\left( {x_1^2 + x_2^2} \right) - \left( {{x_1} + {x_2}} \right)}}{{{x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1}}\)\( = \frac{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right)}}{{{x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1}}\)\( = \frac{{{{\left( { - \frac{5}{3}} \right)}^2} - 2.\left( { - 2} \right) + \frac{5}{3}}}{{ - 2 + \frac{5}{3} + 1}} = {\rm{\;}}\frac{{38}}{3}\)

c) \(C = \left| {{x_1} - {x_2}} \right| \) \(\Leftrightarrow {C^2} = {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2}\) \(\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = x_1^2 + x_2^2 - 2{x_1}{x_2}\) \( \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} \) \(\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= {\left( {\dfrac{{ - 5}}{3}} \right)^2} - 4.\left( { - 2} \right) = \dfrac{{97}}{9}\) \( \Rightarrow C = \dfrac{{\sqrt {97} }}{3}\)

d) \(D = \dfrac{{{x_1} + 2}}{{{x_1}}} + \dfrac{{{x_2} + 2}}{{{x_2}}} \) \(\;\;\;\;= \dfrac{{\left( {{x_1} + 2} \right){x_2} + \left( {{x_2} + 2} \right){x_1}}}{{{x_1}{x_2}}} \) \(\;\;\;\;= \dfrac{{{x_1}{x_2} + 2{x_2} + {x_1}{x_2} + 2{x_1}}}{{{x_1}{x_2}}}\) \(\;\;\;\; = \dfrac{{2{x_1}{x_2} + 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}}{{{x_1}{x_2}}} \) \(\;\;\;\;= \dfrac{{2.\left( { - 2} \right) + 2.\left( {\dfrac{{ - 5}}{3}} \right)}}{{ - 2}} = \dfrac{{11}}{3}\)