Giải bài 6 trang 18 SGK Giải tích 12

Đề bài

Xác định giá trị của tham số $m$ để hàm số $y=\dfrac{x^{2}+mx+1}{x+m}$ đạt cực đại tại $x = 2$.

Lời giải chi tiết

Tập xác định: $D=\mathbb{R}\setminus \left \{ -m \right \};$

Ta có: $y = x + \dfrac{1}{{x + m}}$ $\Rightarrow y' = 1 - \dfrac{1}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}}$ $\Rightarrow y'' = \dfrac{{2\left( {x + m} \right)}}{{{{\left( {x + m} \right)}^4}}} = \dfrac{2}{{{{\left( {x + m} \right)}^3}}}$.

Hàm số đạt cực đại tại $x = 2$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y'\left( 2 \right) = 0\\y''\left( 2 \right) < 0\end{array} \right.$

+) $y''\left( 2 \right) < 0 \Leftrightarrow \dfrac{2}{{{{\left( {2 + m} \right)}^3}}} < 0$ $\Leftrightarrow {\left( {2 + m} \right)^3} < 0 \Leftrightarrow 2 + m < 0$ $\Leftrightarrow m <  - 2$

+) $y'\left( 2 \right) = 0 \Leftrightarrow 1 - \dfrac{1}{{{{\left( {2 + m} \right)}^2}}} = 0$ $\Leftrightarrow {\left( {2 + m} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m =  - 1\left( L \right)\\m =  - 3\left( {TM} \right)\end{array} \right.$

Vậy $m =  - 3$.

Loigiaihay.com