Giải bài 5 trang 18 SGK Giải tích 12

Đề bài

Tìm $a$ và $b$ để các cực trị của hàm số

$y=\dfrac{5}{3}a^{2}x^{3}+2ax^{2}-9x+b$

đều là những số dương và $x_{0}=-\dfrac{5}{9}$ là điểm cực đại.

Lời giải chi tiết

Ta có: $y' = 5{a^2}{x^2} + 4ax - 9$, $y'' = 10{a^2}x + 4a$.

Hàm số đã cho đạt cực đại tại ${x_0} =  - \dfrac{5}{9}$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y'\left( { - \dfrac{5}{9}} \right) = 0\\y''\left( { - \dfrac{5}{9}} \right) < 0\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5{a^2}.{\left( { - \dfrac{5}{9}} \right)^2} + 4a.\left( { - \dfrac{5}{9}} \right) - 9 = 0\\10{a^2}.\left( { - \dfrac{5}{9}} \right) + 4a < 0\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{125{a^2}}}{{81}} - \dfrac{{20a}}{9} - 9 = 0\\ - \dfrac{{50{a^2}}}{9} + 4a < 0\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{{81}}{{25}},a =  - \dfrac{9}{5}\\a < 0 \ {hoặc}\ a > \dfrac{{18}}{{25}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = \dfrac{{81}}{{25}}\\a =  - \dfrac{9}{5}\end{array} \right.$

Ta có: $y' = 5{a^2}{x^2} + 4ax - 9$ có $\Delta ' = 49{a^2} > 0$ với $a \ne 0$ nên phương trình $y' = 0$ luôn có hai nghiệm phân biệt${x_1} = \dfrac{1}{a},{x_2} =  - \dfrac{9}{{5a}}$.

Hàm số đã cho có các cực trị đều dương $\Leftrightarrow {y_{CT}} > 0$.

Với $a = \dfrac{{81}}{{25}}$ thì ${x_1} = \dfrac{{25}}{{81}},{x_2} =  - \dfrac{5}{9}$.

Do đó ${y_{CT}} = y\left( {\dfrac{{25}}{{81}}} \right)$ $= \dfrac{5}{3}.{\left( {\dfrac{{81}}{{25}}} \right)^2}.{\left( {\dfrac{{25}}{{81}}} \right)^3} + 2.\dfrac{{81}}{{25}}.{\left( {\dfrac{{25}}{{81}}} \right)^2}$$- 9.\dfrac{{25}}{{81}} + b > 0$

$\Leftrightarrow b > \dfrac{{400}}{{243}}$

Với $a =  - \dfrac{9}{5}$ thì ${x_1} =  - \dfrac{5}{9},{x_2} = 1$.

Do đó ${y_{CT}} = y\left( 1 \right)$ $= \dfrac{5}{3}.{\left( { - \dfrac{9}{5}} \right)^2}{.1^3} + 2.\left( { - \dfrac{9}{5}} \right){.1^2}$$- 9.1 + b > 0$

$\Leftrightarrow b > \dfrac{{36}}{5}$.

Vậy các giá trị $a, b$ cần tìm là: $\left\{\begin{matrix} a=-\dfrac{9}{5} & \\ b>\dfrac{36}{5} & \end{matrix}\right.$ hoặc $\left\{\begin{matrix} a=\dfrac{81}{25} & \\ b>\dfrac{400}{243} & \end{matrix}\right.$.

Loigiaihay.com