Giải bài 4 trang 18 SGK Giải tích 12

Đề bài

Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số \(m\), hàm số

\(y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^3}-{\rm{ }}m{x^2}-{\rm{ }}2x{\rm{ }} + {\rm{ }}1\)

luôn luôn có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu.

Lời giải chi tiết

TXĐ: \(D = \mathbb R.\)

Ta có: \(y'{\rm{ }} = {\rm{ }}3{x^2}-{\rm{ }}2mx{\rm{ }}-{\rm{ }}2{\rm{ }}\)

Xét phương trình: \(3{x^2}-2mx-2=0\)

Có: \(\Delta ' = {\rm{ }}{m^{2}} - (-2).3 = {\rm{ }}{m^{2}} +6 > {\rm{ }}0 \,\,\forall m \)

\(\Rightarrow\) phương trình \(y’ = 0\) luôn có hai nghiệm phân biệt \(x_1, x_2\).

Giả sử \(x_1 < x_2\), ta có bảng biến thiên:

Dễ thấy hàm số đạt cực đại tại \(x=x_1\) và đạt cực tiểu tại \(x=x_2\).

Vậy hàm số luôn có một cực đại và một cực tiểu.

Loigiaihay.com