Giải bài 4 trang 18 SGK Giải tích 12

Đề bài

Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số $m$, hàm số

$y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^3}-{\rm{ }}m{x^2}-{\rm{ }}2x{\rm{ }} + {\rm{ }}1$

luôn luôn có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu.

Lời giải chi tiết

TXĐ: $D = \mathbb R.$

Ta có: $y'{\rm{ }} = {\rm{ }}3{x^2}-{\rm{ }}2mx{\rm{ }}-{\rm{ }}2{\rm{ }}$

Xét phương trình: $3{x^2}-2mx-2=0$

Có: $\Delta ' = {\rm{ }}{m^{2}} - (-2).3 = {\rm{ }}{m^{2}} +6 > {\rm{ }}0 \,\,\forall m$

$\Rightarrow$ phương trình $y’ = 0$ luôn có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$.

Giả sử $x_1 < x_2$, ta có bảng biến thiên:

Dễ thấy hàm số đạt cực đại tại $x=x_1$ và đạt cực tiểu tại $x=x_2$.

Vậy hàm số luôn có một cực đại và một cực tiểu.

Loigiaihay.com