Bài 34 trang 71 SGK Toán 7 tập 2

Đề bài

Cho góc \(xOy\) khác góc bẹt. Trên tia \(Ox\) lấy hai điểm \(A\) và \(B\), trên tia \(Oy\) lấy hai điểm \(C\) và \(D\) sao cho \(OA = OC, OB = OD.\) Gọi \(I\) là giao điểm của hai đoạn thẳng \(AD\) và \(BC.\) Chứng minh rằng:

a) \(BC = AD\)

b) \(IA = IC, IB = ID\)

c) Tia \(OI\) là tia phân giác của góc \(xOy\).

Lời giải chi tiết

a) Xét \( ∆AOD\) và  \(∆COB\) có: 

+) \(OA = OC\) (giả thiết)

+) \(OD = OB\) (giả thiết)

+) \(\widehat{xOy}\) là góc chung

Vậy \(∆AOD =  ∆COB\) (c.g.c)

\(\Rightarrow\) \(AD = BC\) (hai cạnh tương ứng) (điều phải chứng minh).

b) Vì \(∆AOD =  ∆COB\) (câu a) nên \(\widehat{D} = \widehat{B}\) và \(\widehat{C_1} = \widehat{A_1}\) ( 2 góc tương ứng)

Ta có: \(OA + AB = OB\) \(\Rightarrow AB = OB - OA = OD - OC = CD\)

Hay \(AB=CD\) 

Ta có:  \(\widehat{A_1} + \widehat{A_2} = 180^o\) (\(2\) góc kề bù) 

\(\Rightarrow\) \(\widehat{A_2} = 180^o - \widehat{A_1} = 180^o - \widehat{C_1} =  \widehat{C_2}\)

Xét \(∆AIB\) và  \(∆CID\) ta có:

+) \(AB = CD\) (chứng minh trên)

+) \(\widehat{B} = \widehat{D}\) (chứng minh trên)

+) \(\widehat{A_2} = \widehat{C_2}\) (chứng minh trên)

Vậy \(∆AIB = ∆CID\) (g.c.g)

\(\Rightarrow IC = IA\) và \(ID = IB\) (hai cạnh tương ứng)

c) Xét \(∆OAI\) và \( ∆OCI\) ta có:

+) \(OA = OC\) (giả thiết)

+) \(\widehat{A_1} = \widehat{C_1}\) (chứng minh trên)

+) \(IA = IC\) (chứng minh trên)

Vậy \( ∆OAI =  ∆OCI\) (c.g.c)

\(\Rightarrow\widehat{AOI} = \widehat{COI}\) ( 2 góc tương ứng)

\(\Rightarrow\) \(OI\) là phân giác của \(\widehat{xOy}\).