Giải bài 3 trang 7 SGK Hình học 10

Đề bài

Cho tứ giác \(ABCD\). Chứng minh rằng tứ giác đó là hình bình hành khi và chỉ khi \(\overrightarrow{AB}\) = \(\overrightarrow{DC}\).

Lời giải chi tiết

Ta chứng minh hai mệnh đề:

*) Nếu \(\overrightarrow{AB}= \overrightarrow{DC}\) thì \(ABCD\) là hình bình hành.

Ta có:

\(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}  nên \left | \overrightarrow{AB} \right |= \left | \overrightarrow{DC} \right |\) và \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{DC}\) cùng hướng.

\(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{DC}\) cùng hướng suy ra chúng cùng phương hay \(AB // DC\) (1)

\(\left | \overrightarrow{AB} \right |= \left | \overrightarrow{DC} \right |\) hay \(AB = DC\)   (2)

Từ (1) và (2),ta suy ra ABCD là hình bình hành (theo dấu hiệu nhận biết: tứ giác \(ABCD\) có một cặp cạnh song song và bằng nhau). 

*) Nếu \(ABCD\) là hình bình hành thì \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\)

Khi \(ABCD\) là hình bình hành thì \(AB // CD.\) và \(AB = CD\)

Từ hình vẽ, dễ thấy: \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{DC}\) cùng chiều.

 \(\Rightarrow \overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{DC}\) cùng hướng (3)

Mặt khác \(AB = DC\) suy ra \(\left | \overrightarrow{AB} \right |\) = \(\left | \overrightarrow{DC} \right |\)          (4)

Từ (3) và (4) suy ra  \(\overrightarrow{AB}= \overrightarrow{DC}.\)

Như vậy tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành khi và chỉ khi  \(\overrightarrow{AB}= \overrightarrow{DC}.\)

Loigiaihay.com