Giải bài 3 trang 7 SGK Hình học 10

Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng tứ giác đó là hình bình hành khi và chỉ khi

Quảng cáo

Đề bài

Cho tứ giác \(ABCD\). Chứng minh rằng tứ giác đó là hình bình hành khi và chỉ khi \(\overrightarrow{AB}\) = \(\overrightarrow{DC}\).

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Dựa vào 1 dấu hiệu nhận biết hình bình hành là: Một cặp cạnh đối song song và bằng nhau

Và: \(\overrightarrow{AB}= \overrightarrow{DC} \Leftrightarrow AB = CD\) và \(\overrightarrow{AB}\); \(\overrightarrow{DC}\) cùng hướng

Lời giải chi tiết

Ta chứng minh hai mệnh đề:

*) Nếu \(\overrightarrow{AB}= \overrightarrow{DC}\) thì \(ABCD\) là hình bình hành.

Ta có:

\(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}  nên \left | \overrightarrow{AB} \right |= \left | \overrightarrow{DC} \right |\) và \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{DC}\) cùng hướng.

\(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{DC}\) cùng hướng suy ra chúng cùng phương hay \(AB // DC\) (1)

\(\left | \overrightarrow{AB} \right |= \left | \overrightarrow{DC} \right |\) hay \(AB = DC\)   (2)

Từ (1) và (2),ta suy ra ABCD là hình bình hành (theo dấu hiệu nhận biết: tứ giác \(ABCD\) có một cặp cạnh song song và bằng nhau). 

*) Nếu \(ABCD\) là hình bình hành thì \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\)

Khi \(ABCD\) là hình bình hành thì \(AB // CD.\) và \(AB = CD\)

Từ hình vẽ, dễ thấy: \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{DC}\) cùng chiều.

 \(\Rightarrow \overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{DC}\) cùng hướng (3)

Mặt khác \(AB = DC\) suy ra \(\left | \overrightarrow{AB} \right |\) = \(\left | \overrightarrow{DC} \right |\)          (4)

Từ (3) và (4) suy ra  \(\overrightarrow{AB}= \overrightarrow{DC}.\)

Như vậy tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành khi và chỉ khi  \(\overrightarrow{AB}= \overrightarrow{DC}.\)

Loigiaihay.com

Quảng cáo

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

close