Giải bài 3 trang 7 SGK Hình học 10

Đề bài

Cho tứ giác $ABCD$. Chứng minh rằng tứ giác đó là hình bình hành khi và chỉ khi $\overrightarrow{AB}$ = $\overrightarrow{DC}$.

Lời giải chi tiết

Ta chứng minh hai mệnh đề:

*) Nếu $\overrightarrow{AB}= \overrightarrow{DC}$ thì $ABCD$ là hình bình hành.

Ta có:

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}  nên \left | \overrightarrow{AB} \right |= \left | \overrightarrow{DC} \right |$ và $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{DC}$ cùng hướng.

$\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{DC}$ cùng hướng suy ra chúng cùng phương hay $AB // DC$ (1)

$\left | \overrightarrow{AB} \right |= \left | \overrightarrow{DC} \right |$ hay $AB = DC$   (2)

Từ (1) và (2),ta suy ra ABCD là hình bình hành (theo dấu hiệu nhận biết: tứ giác $ABCD$ có một cặp cạnh song song và bằng nhau). 

*) Nếu $ABCD$ là hình bình hành thì $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$

Khi $ABCD$ là hình bình hành thì $AB // CD.$ và $AB = CD$

Từ hình vẽ, dễ thấy: $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{DC}$ cùng chiều.

 $\Rightarrow \overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{DC}$ cùng hướng (3)

Mặt khác $AB = DC$ suy ra $\left | \overrightarrow{AB} \right |$ = $\left | \overrightarrow{DC} \right |$          (4)

Từ (3) và (4) suy ra  $\overrightarrow{AB}= \overrightarrow{DC}.$

Như vậy tứ giác $ABCD$ là hình bình hành khi và chỉ khi  $\overrightarrow{AB}= \overrightarrow{DC}.$

Loigiaihay.com