Bài 3 trang 7 SGK Hình học 10

Giải bài 3 trang 7 SGK Hình học 10. Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng tứ giác đó là hình bình hành khi và chỉ khi

Quảng cáo

Đề bài

Cho tứ giác \(ABCD\). Chứng minh rằng tứ giác đó là hình bình hành khi và chỉ khi \(\overrightarrow{AB}\) = \(\overrightarrow{DC}\).

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Dấu hiệu và tính chất của hình bình hành: Hai cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau.

Lời giải chi tiết

Ta chứng minh hai mệnh đề:

*) Nếu \(\overrightarrow{AB}= \overrightarrow{DC}\) thì \(ABCD\) là hình bình hành.

Ta có:

\(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}  nên \left | \overrightarrow{AB} \right |= \left | \overrightarrow{DC} \right |\) và \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{DC}\) cùng hướng.

\(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{DC}\) cùng hướng suy ra \(AB // DC\) (1)

\(\left | \overrightarrow{AB} \right |= \left | \overrightarrow{DC} \right |\) suy ra \(AB = DC\)   (2)

Từ (1) và (2), theo dấu hiệu nhận biết hình bình hành, tứ giác \(ABCD\) có một cặp cạnh song song và bằng nhau nên nó là hình bình hành. 

*) Nếu \(ABCD\) là hình bình hành thì \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\)

Khi \(ABCD\) là hình bình hành thì \(AB // CD.\)

Từ hình vẽ suy ra \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{DC}\) cùng hướng     (3)

Mặt khác \(AB = DC\) suy ra \(\left | \overrightarrow{AB} \right |\) = \(\left | \overrightarrow{DC} \right |\)          (4)

Từ (3) và (4) suy ra  \(\overrightarrow{AB}= \overrightarrow{DC}.\)

Như vậy tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành khi và chỉ khi  \(\overrightarrow{AB}= \overrightarrow{DC}.\)

Loigiaihay.com

Quảng cáo

Xem thêm tại đây: Bài 1. Các định nghĩa
Gửi bài