Giải bài 3 trang 18 SGK Giải tích 12

Đề bài

Chứng minh rằng hàm số $y=\sqrt{\left | x \right |}$ không có đạo hàm tại $x = 0$ nhưng vẫn đạt cực tiểu tại điểm đó.

Lời giải chi tiết

Ta có:

$\begin{array}{l}y = f\left( x \right) = \sqrt {\left| x \right|} = \left\{ \begin{array}{l}\sqrt x \,\,khi\,\,x \ge 0\\\sqrt { - x} \,\,khi\,\,x < 0\end{array} \right.\\ \mathop {\lim }\limits_{{0^ + }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{\sqrt x }}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{1}{{\sqrt x }} = + \infty \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{\sqrt { - x} }}{x} \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{\sqrt { - x} }}{{ - {{\left( {\sqrt { - x} } \right)}^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{ - 1}}{{\sqrt { - x} }} = - \infty \\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} \end{array}$

$\Rightarrow$ Không tồn tại đạo hàm của hàm số đã cho tại $x = 0$.

Dễ thấy $f(x)=\sqrt {\left| x \right|}\ge 0$ với mọi $x\in R$ và $f(0)=0$ nên $x=0$ chính là điểm cực tiểu của hàm số.

Loigiaihay.com