Bài 3 trang 130 SGK Toán 8 tập 2

Đề bài

Chứng minh rằng hiệu các bình phương của hai số lẻ bất kì thì chia hết cho $8$.

Lời giải chi tiết

Gọi hai số lẻ bất kì là $2a + 1$ và $2b + 1$ ($a, b ∈\mathbb Z$)

Hiệu bình phương của hai số lẻ đó bằng :

${\left( {2a{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)^2}-{\rm{ }}{\left( {2b{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)^2}$

$= \left( {4{a^2} + {\rm{ }}4a{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right){\rm{ }}-{\rm{ }}\left( {4{b^2} + {\rm{ }}4b{\rm{ }} + 1} \right)$

$= \left( {4{a^2} + {\rm{ }}4a} \right){\rm{ }}-{\rm{ }}\left( {4{b^2} + {\rm{ }}4b} \right){\rm{ }}$

$= {\rm{ }}4a\left( {a{\rm{ }} + 1} \right){\rm{ }}-{\rm{ }}4b\left( {b{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)$    

Vì tích của hai số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho $2$ nên $a(a+1)$ và $b(b+1)$ đều chia hết cho $2$.

Do đó $4a(a + 1)$ và $4b(b + 1)$ chia hết cho $8$.

Suy ra $4a(a + 1) – 4b(b + 1)$ chia hết cho $8$.

Vậy ${\left( {2a{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)^2}-{\rm{ }}{\left( {2b{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)^2}$ chia hết cho $8$.

Loigiaihay.com