Bài 3 trang 115 SGK Toán 8 tập 1

Đề bài

Cho hình thoi $ABCD$ có $\widehat A = {60^0}$. Gọi $E, F, G, H$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB, BC, CD, DA$. Chứng minh rằng đa giác $EBFGDH$ là lục giác đều.

Lời giải chi tiết

Vì $ABCD$ là hình thoi (giả thiết) và $\widehat A = {60^0}$ (giả thiết)

Do đó $AB = BC = CD = DA$; $AB//DC;\,BC//AD$.

Lại có $E,F,G,H$ lần lượt là trung điểm của $AB,BC,CD,DA$ nên $AE = EB = BF = FC = CG = GD$$\, = DH = HA$

Vì $AD//BC$ nên $\widehat A + \widehat {ABC} = {180^0}$ ($2$ góc trong cùng phía bù nhau)

$\Rightarrow \widehat {ABC} = {180^0} - \widehat A = {180^0} - {60^0}$$= {120^0}$

$\Rightarrow \widehat {ABC} = \widehat {ADC} = {120^0}$ (tính chất hình thoi)

$\Delta EAH$ có $AE=AH$ (chứng minh trên) và $\widehat A=60^0$ nên là tam giác đều (vì tam giác cân có một góc $60^0$ là tam giác đều)

$\Rightarrow \widehat {AEH} = \widehat {AHE} = {60^0}$ và $AE=EH=AH$ (tính chất tam giác đều) 

$\left\{ \begin{array}{l} \widehat {AEH} + \widehat {HEB} = {180^0}\\ \widehat {AHE} + \widehat {EHD} = {180^0} \end{array} \right.$  (hai góc kề bù)

$\Rightarrow \widehat {HEB} = \widehat {EH{\rm{D}}} = {180^0} - {60^0} = {120^0}$

Tương tự:

$\Delta CFG$ có $CF=CG$ (chứng minh trên) và $\widehat C=\widehat A =60^0$ (do ABCD là hình thoi) nên là $\Delta CFG$ tam giác đều (vì tam giác cân có một góc $60^0$ là tam giác đều)

$\Rightarrow \widehat {CFG} = \widehat {CGF} = {60^0}$ và $CF=FG=CG$ (tính chất tam giác đều) 

$\left\{ \begin{array}{l} \widehat {CFG} + \widehat {BFG} = {180^0}\\ \widehat {CGF} + \widehat {FGD} = {180^0} \end{array} \right.$  (hai góc kề bù)

$\Rightarrow \widehat {BFG} = \widehat {FGD} = {180^0} - {60^0} = {120^0}$

Từ đó ta suy ra: $EB = BF = GD=HD$$\, = EH= FG$ 

$\widehat {ABC} = \widehat {ADC}$$=\widehat {HEB} = \widehat {EH{\rm{D}}}$$=\widehat {BFG} =\widehat{F GD} = {120^0}$

Vậy đa giác $EBFGDH$ có tất cả các góc bằng nhau, tất cả các cạnh bằng nhau ( bằng nửa cạnh hình thoi)

Nên $EBFGDH$ là một lục giác đều (dấu hiệu nhận biết lục giác đều)

Loigiaihay.com