Bài 23 trang 12 SGK Toán 8 tập 1

Đề bài

Chứng minh rằng:

\({\left( {a + b} \right)^2} = {\left( {a - b} \right)^2} + 4ab;\)

\({\left( {a - b} \right)^2} = {\left( {a + b} \right)^2} - 4ab.\)

Áp dụng:

a) Tính \({\left( {a - b} \right)^2}\), biết \(a + b = 7\) và \(a . b = 12.\)

b) Tính \({\left( {a + b} \right)^2}\), biết \(a - b = 20\) và \(a . b = 3.\)

Lời giải chi tiết

* \({\left( {a + b} \right)^2} = {\left( {a - b} \right)^2} + 4ab\)

Cách 1: Biến đổi vế trái:

\(\eqalign{
& {\left( {a + b} \right)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2} \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {a^2} - 2ab + {b^2} + 4ab \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {{a^2} - 2ab + {b^2}} \right) + 4ab \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {\left( {a - b} \right)^2} + 4ab \cr} \)

Vậy \({\left( {a + b} \right)^2} = {\left( {a - b} \right)^2} + 4ab\)

Cách 2: Biến đổi vế phải:

\(\eqalign{
& {\left( {a - b} \right)^2} + 4ab \cr
& = {a^2} - 2ab + {b^2} + 4ab \cr
& = {a^2} + \left( {4ab - 2ab} \right) + {b^2} \cr
& = {a^2} + 2ab + {b^2} \cr 
& =(a+b)^2\cr} \)

Vậy \({\left( {a + b} \right)^2} = {\left( {a - b} \right)^2} + 4ab\)

Cách 3: 

\(\begin{array}{l}{(a + b)^2} = {(a - b)^2} + 4ab\\ \Leftrightarrow {(a + b)^2} - {(a - b)^2} - 4ab = 0\\ \Leftrightarrow [a + b - (a - b)].[a + b + (a - b)] - 4ab = 0\\ \Leftrightarrow 2b.2a - 4ab = 0\\ \Leftrightarrow 4ab - 4ab = 0\end{array}\)

(Luôn đúng)

Vậy \({\left( {a + b} \right)^2} = {\left( {a - b} \right)^2} + 4ab\)

* \({\left( {a - b} \right)^2} = {\left( {a + b} \right)^2} - 4ab\)

Biến đổi vế phải:

\(\eqalign{
& {\left( {a + b} \right)^2} - 4ab \cr
& = {a^2} + 2ab + {b^2} - 4ab \cr
& = {a^2} + \left( {2ab - 4ab} \right) + {b^2} \cr
& = {a^2} - 2ab + {b^2} = {\left( {a - b} \right)^2} \cr} \)

Vậy \({\left( {a - b} \right)^2} = {\left( {a + b} \right)^2} - 4ab\)

Áp dụng: Tính:

a) Với \(a + b = 7\) và \(a . b = 12\) ta có:

\({\left( {a - b} \right)^2} = {\left( {a + b} \right)^2} - 4ab\)

                \(= {7^2} - 4.12 = 49 - 48 = 1\)

b) Với \(a - b = 20\) và \(a . b = 3\) ta có:

\({\left( {a + b} \right)^2} = {\left( {a - b} \right)^2} + 4ab \)

                 \(= {20^2} + 4.3 \)

                 \(= 400 + 12 = 412\)

Loigiaihay.com