Bài 23 trang 12 SGK Toán 8 tập 1

Đề bài

Chứng minh rằng:

${\left( {a + b} \right)^2} = {\left( {a - b} \right)^2} + 4ab;$

${\left( {a - b} \right)^2} = {\left( {a + b} \right)^2} - 4ab.$

Áp dụng:

a) Tính ${\left( {a - b} \right)^2}$, biết $a + b = 7$ và $a . b = 12.$

b) Tính ${\left( {a + b} \right)^2}$, biết $a - b = 20$ và $a . b = 3.$

Lời giải chi tiết

* ${\left( {a + b} \right)^2} = {\left( {a - b} \right)^2} + 4ab$

Cách 1: Biến đổi vế trái:

$\eqalign{ & {\left( {a + b} \right)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2} \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {a^2} - 2ab + {b^2} + 4ab \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {{a^2} - 2ab + {b^2}} \right) + 4ab \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {\left( {a - b} \right)^2} + 4ab \cr}$

Vậy ${\left( {a + b} \right)^2} = {\left( {a - b} \right)^2} + 4ab$

Cách 2: Biến đổi vế phải:

$\eqalign{ & {\left( {a - b} \right)^2} + 4ab \cr & = {a^2} - 2ab + {b^2} + 4ab \cr & = {a^2} + \left( {4ab - 2ab} \right) + {b^2} \cr & = {a^2} + 2ab + {b^2} \cr  & =(a+b)^2\cr}$

Vậy ${\left( {a + b} \right)^2} = {\left( {a - b} \right)^2} + 4ab$

Cách 3: 

$\begin{array}{l}{(a + b)^2} = {(a - b)^2} + 4ab\\ \Leftrightarrow {(a + b)^2} - {(a - b)^2} - 4ab = 0\\ \Leftrightarrow [a + b - (a - b)].[a + b + (a - b)] - 4ab = 0\\ \Leftrightarrow 2b.2a - 4ab = 0\\ \Leftrightarrow 4ab - 4ab = 0\end{array}$

(Luôn đúng)

Vậy ${\left( {a + b} \right)^2} = {\left( {a - b} \right)^2} + 4ab$

* ${\left( {a - b} \right)^2} = {\left( {a + b} \right)^2} - 4ab$

Biến đổi vế phải:

$\eqalign{ & {\left( {a + b} \right)^2} - 4ab \cr & = {a^2} + 2ab + {b^2} - 4ab \cr & = {a^2} + \left( {2ab - 4ab} \right) + {b^2} \cr & = {a^2} - 2ab + {b^2} = {\left( {a - b} \right)^2} \cr}$

Vậy ${\left( {a - b} \right)^2} = {\left( {a + b} \right)^2} - 4ab$

Áp dụng: Tính:

a) Với $a + b = 7$ và $a . b = 12$ ta có:

${\left( {a - b} \right)^2} = {\left( {a + b} \right)^2} - 4ab$

                $= {7^2} - 4.12 = 49 - 48 = 1$

b) Với $a - b = 20$ và $a . b = 3$ ta có:

${\left( {a + b} \right)^2} = {\left( {a - b} \right)^2} + 4ab$

                 $= {20^2} + 4.3$

                 $= 400 + 12 = 412$

Loigiaihay.com