Bài 20 trang 44 SGK Toán 8 tập 1

Đề bài

Cho hai phân thức:

$\dfrac{1}{{{x^2} + 3x - 10}},\;\dfrac{x}{{{x^2} + 7x + 10}}$

Không dùng cách phân tích các mẫu thức thành nhân tử, hãy chứng tỏ rằng có thể quy đồng mẫu thức hai phân thức này với mẫu thức chung là ${x^3} + 5{x^2} - 4x - 20$

Lời giải chi tiết

Để chứng tỏ rằng có thể chọn đa thức  ${x^3} + 5{x^2} - 4x - 20$ làm mẫu thức chung, ta chỉ cần chứng tỏ rằng nó chia hết cho mẫu thức của mỗi phân thức đã cho.

Ta xét các phép chia:

Do đó:

$\begin{array}{l} {x^3} + 5{{\rm{x}}^2} - 4{\rm{x}} - 20\\ = \left( {{x^2} + 3{\rm{x}} - 10} \right)\left( {x + 2} \right)\\ = \left( {{x^2} + 7{\rm{x + }}10} \right)\left( {x - 2} \right) \end{array}$

+) MTC = ${x^3} + 5{x^2} - 4x - 20$

Nhân tử phụ của phân số thứ nhất là: $(x+2)$

Nhân tử phụ của phân số thứ hai là: $(x-2)$

+) Quy đồng mẫu thức:

$\dfrac{1}{{{x^2} + 3x - 10}}$$\,= \dfrac{{1.\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {{x^2} + 3x - 10} \right)\left( {x + 2} \right)}}$$\,= \dfrac{{x + 2}}{{{x^3} + 5{x^2} - 4x - 20}}$

$\dfrac{x}{{{x^2} + 7x + 10}}$$\,= \dfrac{{x\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {{x^2} + 7x + 10} \right)\left( {x - 2} \right)}}$$\,= \dfrac{{{x^2} - 2x}}{{{x^3} + 5{x^2} - 4x - 20}}$