Bài 17 trang 63 SGK Toán 7 tập 2

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) và \(M\) là một điểm nằm trong tam giác. Gọi \(I\) là giao điểm của đường thẳng \(BM\) và cạnh \(AC\).

a) So sánh \(MA\) với \(MI + IA\), từ đó chứng minh \(MA + MB < IB + IA.\)

b) So sánh \(IB\) với \(IC + CB\), từ đó chứng minh \(IB + IA < CA + CB\).

c) Chứng minh bất đẳng thức \(MA + MB < CA + CB.\)

Lời giải chi tiết

a) \( M\) nằm trong tam giác \(ABC\) nên ba điểm \(A, M, I\) không thẳng hàng. 

Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào \(∆AMI\) ta có:

\(MA < MI + IA\)        (1)

Cộng \(MB\) vào hai vế của (1) ta được:

\(MA + MB < MB + MI + IA\)

Mà \(MB + MI = IB\)

\(\Rightarrow  MA + MB < IB + IA\) (điều phải chứng minh).

b) Ba điểm \(B, I, C\) không thẳng hàng.

Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào \(∆BIC\) ta có:

\(IB < IC + BC\)       (2).

Cộng \(IA\) vào hai vế của (2) ta được:

\(IB + IA < IA + IC + BC\)

Mà \(IA + IC = AC\)

\(\Rightarrow IB + IA < AC + BC\) (điều phải chứng minh).

c) Vì \(MA + MB < IB + IA\) (chứng minh trên)

       \(IB + IA < AC + BC\) (chứng minh trên)

Suy ra \(MA + MB < CA + CB\) (điều phải chứng minh).