Đề thi học kì 1 môn toán lớp 10 năm 2019 - 2020 trường THPT Đào Duy Từ

Giải chi tiết đề thi học kì 1 môn toán lớp 10 năm 2019 - 2020 trường THPT Đào Duy Từ với cách giải nhanh và chú ý quan trọng

Quảng cáo

Mã đề thi 486

PHẦN I : TRẮC NGHIỆM

Câu 1 (TH): Nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt 2 x - y =  - 1\\3x - \sqrt 2 y = 2\end{array} \right.\) là

A. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - \sqrt 2 \\y = 3 - 2\sqrt 2 \end{array} \right.\)   

B. \(\left\{ \begin{array}{l}x = \sqrt 2  - 2\\y = 2\sqrt 2  - 3\end{array} \right.\)   

C. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + \sqrt 2 \\y = 3 + 2\sqrt 2 \end{array} \right.\)   

D. \(\left\{ \begin{array}{l}x = \sqrt 2  + 2\\y = 2\sqrt 2  - 3\end{array} \right.\)

Câu 2 (TH): Cho \(\overrightarrow u  = \left( {2; - 2} \right),\,\,\overrightarrow v  = \left( {1;8} \right)\). Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. \(\overrightarrow u  + \overrightarrow v \) và \(\overrightarrow b  = \left( {1;2} \right)\) cùng hướng 

B.  \(2\overrightarrow u  + \overrightarrow v ,\,\,\overrightarrow v \) cùng phương              

C. \(\overrightarrow u ,\,\,\overrightarrow v \) cùng phương           

D. \(\overrightarrow u  - \overrightarrow v \) và \(\overrightarrow a  = \left( {1; - 10} \right)\) ngược hướng

Câu 3 (TH): Hàm số nào trong 4 phương án liệt kê ở A, B, C, D có đồ thị như hình bên ?

A. \(y = {x^2} - 4x + 3\)                                     B. \(y = 2{x^2} + 8x + 3\)                                     C. \(y = {x^2} + 4x + 3\)                                          D. \(y =  - {x^2} - 4x + 3\)

Câu 4 (NB): Trong các hàm số sau, hàm số bậc nhất là :

A. \(y = \dfrac{{2x - 2}}{3}\)                          B. \(y = \dfrac{{ - 2}}{{2x + 1}}\)         C. \(y = \dfrac{{mx + 1}}{x}\)   D. \(y = \sqrt {mx + x} \)

Câu 5 (TH): Điều kiện của \(m\) để phương trình \(\left( {{m^2} - 5} \right)x - 1 = m - x\) có nghiệm duy nhất là :

A. \(m \ne  \pm \sqrt 5 \)                                 B. \(m \ne  - 2\)         C. \(m \ne 2\)        D. \(m \ne  \pm 2\)

Câu 6 (TH): Tam giác \(ABC\) vuông ở \(A\) và có góc \(\widehat B = 40^\circ \). Hệ thức nào sau đây là đúng ?

A. \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {BC} } \right) = 140^\circ \)    B. \(\left( {\overrightarrow {BC} ,\,\,\overrightarrow {AC} } \right) = 140^\circ \)         C. \(\left( {\overrightarrow {AC} ,\,\,\overrightarrow {CB} } \right) = 40^\circ \)  D. \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {CB} } \right) = 50^\circ \)

Câu 7 (TH): Cho \(3\) điểm \(A\left( {1;4} \right);\,\,B\left( {3;2} \right)\,;\,\,C\left( {5;4} \right)\). Chu vi tam giác \(ABC\) bằng bao nhiêu ?

A. \(8 + 8\sqrt 2 \)          B. \(4 + 4\sqrt 2 \)     C. \(4 + 2\sqrt 2 \)     D. \(2 + 2\sqrt 2 \)

Câu 8 (TH): Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {m - 1} \right)x - y = 2\\ - 2x + my = 1\end{array} \right.\) có vô nghiệm khi?

A. \(\left[ \begin{array}{l}m =  - 1\\m = 2\end{array} \right.\)               B. \(\left[ \begin{array}{l}m = 1\\m =  - 2\end{array} \right.\)                              C. \(\left[ \begin{array}{l}m \ne  - 1\\m \ne 2\end{array} \right.\)                         D. \(\left[ \begin{array}{l}m =  - 1\\m =  - 2\end{array} \right.\)

Câu 9 (VD): Các đường thẳng \(y =  - 5\left( {x + 2} \right);y = ax + 3;y = 3x + a\) đồng quy với giá trị của \(a\) là:

A. \( - 11\)                     B. \( - 18\)                      C. \( - 12\)                                 D. \( - 10\)

Câu 10 (NB): Cho hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\left( {a < 0} \right)\) có đồ thị \(\left( P \right)\). Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \dfrac{b}{{2a}}; + \infty } \right)\)                  

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - \dfrac{b}{{2a}}} \right)\)       

C. Đồ thị luôn cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt.                                 

D. Đồ thị có trục đối xứng là đường thẳng \(x =  - \dfrac{b}{{2a}}\)

Câu 11 (VD): Số nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - {y^2} = 4\\xy = 5\end{array} \right.\) là:

A.\(3\)                            B. \(2\)                           C.\(1\)                            D. \(4\)

Câu 12 (TH): Gọi \({x_1},{x_2}\) là 2 nghiệm của phương trình \({x^2} - 3x + 2 = 0\). Tổng \(x_1^2 + x_2^2\) bằng:                                    

A. \(10\)                         B. \(9\)                           C. \(5\)                           D. \(8\)

Câu 13 (TH): Cho biết \(\sin \dfrac{\alpha }{3} = \dfrac{4}{5}\). Giá trị của \(P = 2{\sin ^2}\dfrac{\alpha }{3} + 5{\cos ^2}\dfrac{\alpha }{3}\) bằng bao nhiêu?

A.\(P = \dfrac{{93}}{{25}}\)                              B.\(P = \dfrac{{109}}{{25}}\)   C.\(P = \dfrac{{111}}{{25}}\)   D. \(P = \dfrac{{107}}{{25}}\)

Câu 14 (VD): Cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( { - 4;0} \right)\), \(B\left( {4;6} \right)\), \(C\left( { - 1;4} \right)\). Trực tâm của tam giác \(ABC\) có tọa độ là:

A. \(\left( {\dfrac{{76}}{7}; - \dfrac{{120}}{7}} \right)\)                        B. \(\left( {0;2} \right)\)                         C.\(\left( {4;0} \right)\) D. \(\left( { - \dfrac{{76}}{7};\dfrac{{120}}{7}} \right)\)

Câu 15 (VD): Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{3}{x} + \dfrac{2}{y} = 12\\\dfrac{5}{x} - \dfrac{3}{y} = 1\end{array} \right.\) có nghiệm là:

A. \(\left( { - 1; - 2} \right)\)                                B. \(\left( { - 1; - \dfrac{1}{2}} \right)\)       C. \(\left( {\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{3}} \right)\)       D. \(\left( { - 1;2} \right)\)

Câu 16 (TH): Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}mx + y = m - 3\\4x + my =  - 2\end{array} \right.\) có nghiệm duy nhất khi:

A. \(m = 2\)                   B. \(\left\{ \begin{array}{l}m \ne 2\\m \ne  - 2\end{array} \right.\)                                       C. \(m =  - 2\)                D. \(\left[ \begin{array}{l}m = 2\\m =  - 2\end{array} \right.\)

Câu 17 (TH): Điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số \(y = \left| {2{x^2} - 3} \right|\)

A. \(\left( {0; - 3} \right)\)                                   B. \(\left( { - 1; - 1} \right)\)      C.\(\left( { - 2;5} \right)\)                  D.\(\left( { - 2;12} \right)\)               

Câu 18 (TH): Cho hàm số \(y = 2{x^2} - 4x + 3\) có đồ thị là Parabol \(\left( P \right)\). Mệnh đề nào sau đây sai?

A. \(\left( P \right)\) có trục đối xứng là \(d:x = 1\)                                  

B. \(\left( P \right)\) có đỉnh là \(S\left( { - 1;9} \right)\)                          

C. \(\left( P \right)\) không có giao điểm với trục hoành

D. \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(M\left( { - 1;9} \right)\)

Câu 19 (VD): Cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( {2;0} \right),\,\,B\left( {0;3} \right)\,,\,\,C\left( { - 3;1} \right)\). Đường thẳng \(d\) đi qua \(A\) và song song với \(BC\) có phương trình là

A. \(2x - 3y - 4 = 0\)       B. \(5x + y - 3 = 0\)   C. \(x + 5y - 15 = 0\) D. \(x - 15y + 15 = 0\)

Câu 20 (TH): Hàm số nào sau đây đồng biến trong khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) ?

A. \(y = \sqrt 2 {\left( {x + 1} \right)^2}\)       B. \(\sqrt 2 {x^2} + 1\)       C. \( - \sqrt 2 {\left( {x + 1} \right)^2}\)        D. \( - \sqrt 2 {x^2} + 1\)

Câu 21 (TH): Vectơ  nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của \(d:\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + 2t\\y = 3 + t\end{array} \right.\)

A. \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {2; - 1} \right)\)                    B. \(\overrightarrow {{n_3}}  = \left( {1; - 2} \right)\)                     C. \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {1;2} \right)\)                          D. \(\overrightarrow {{n_4}}  = \left( {1;2} \right)\)

Câu 22 (VD): Cho phương trình \(\left( {1 - \sqrt 2 } \right){x^4} - \left( {\sqrt 2  - \sqrt 3 } \right){x^2} + \sqrt 3  = 0\). Số các nghiệm dương của phương trình là

A. \(2\)                           B. \(3\)                       C. \(4\)                      D. \(1\)

Câu 23 (VD): Trong hệ tọa độ \(Oxy\), cho ba điểm \(A\left( {1;1} \right)\,,\,\,B\left( {2; - 1} \right)\,,\,\,C\left( {4;3} \right)\). Tọa độ điểm \(D\) để \(ABDC\) là hình bình hành là :

A. \(D\left( {1;3} \right)\)                                B. \(D\left( {3;5} \right)\)   C. \(D\left( {3;1} \right)\)                          D. \(D\left( {5;1} \right)\)

Câu 24 (TH): Tam giác \(ABC\) có \(AB = 8cm,\,\,AC = 20cm\) và có diện tích bằng \(64c{m^2}\). Giá trị \(\sin A\) bằng

A. \(\sin A = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\)                B. \(\sin A = \dfrac{8}{9}\) C. \(\sin A = \dfrac{4}{5}\)                D. \(\sin A = \dfrac{3}{8}\)

Câu 25 (TH): Bảng biến thiên của hàm số \(y = 2{x^2} - 4x + 5\) là bảng nào sau đây ?

PHẦN 2 : TỰ LUẬN

Câu 1 (2 điểm): Giải các phương trình, hệ phương trình sau:

\(a)\,\,\left| {1 - 2x} \right| - \left| {x + 1} \right| = 7\)                       \(b)\,\,{x^4} + 2{x^2} - 3 = 0\)                                  \(c)\,\,\left\{ \begin{array}{l}{x^2} = 3x + 2y\\{y^2} = 3y + 2x\end{array} \right.\)

Câu 2 (1 điểm): Xác định hàm số bậc hai \(y = a{x^2} + bx + 3\) biết đồ thị hàm số của nó đi qua điểm \(A\left( { - 1;9} \right)\) và có trục đối xứng \(x =  - 2\).

Câu 3 (2 điểm): a) Cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( {4;2} \right),\,\,B\left( { - 3; - 4} \right),\,\,C\left( {4; - 5} \right)\). Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm \(A\) và song song với đường thẳng \(BC\).

b) Cho tam giác \(MNP\) có \(MN = 6,\,\,NP = 7\) và \(\widehat M = 60^\circ \). Tính góc \(\widehat N\) và \(\widehat P\).

ĐÁP ÁN

1C

6A

11B

16B

21B

2A

7B

12C

17C

22A

3C

8A

13A

18B

23D

4A

9B

14A

19A

24C

5D

10D

15C

20D

25B

 

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Thực hiện: Ban chuyên môn Loigiaihay.com

Câu 1 (TH):

Phương pháp:

Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số

Cách giải:

Ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\sqrt 2 x - y =  - 1\\3x - \sqrt 2 y = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - \sqrt 2 y =  - \sqrt 2 \\3x - \sqrt 2 y = 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2 + \sqrt 2 \\\sqrt 2 x - y =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2 + \sqrt 2 \\y = \sqrt 2 \left( {2 + \sqrt 2 } \right) + 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2 + \sqrt 2 \\y = 2\sqrt 2  + 3\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: \(\left( {x;y} \right) = \left( {2 + \sqrt 2 ;2\sqrt 2  + 3} \right)\)

Chọn C

Câu 2 (TH):

Phương pháp:

Cho véc tơ \(\overrightarrow u  = \left( {a;b} \right)\), khi đó \(\overrightarrow v  = k\overrightarrow u \,\left( {k \ne 0} \right)\) cùng hướng với \(\overrightarrow u  \Leftrightarrow k > 0\) và ngược hướng với \(\overrightarrow u  \Leftrightarrow k < 0.\)

Cách giải:

Ta có: \(\overrightarrow u  + \overrightarrow v  = \left( {2 + 1; - 2 + 8} \right) = \left( {3;6} \right) = 3\left( {1;2} \right) = 3\overrightarrow u \)

Nên \(\overrightarrow u  + \overrightarrow v \) và \(\overrightarrow u \)  cùng hướng, do đó A đúng.

Chọn A

Câu 3 (TH):

Phương pháp:

Xác định một số điểm thuộc đồ thị hàm số rồi thay tọa độ điểm vào các hàm số ở mỗi đáp án để chọn đáp án đúng.

Cách giải:

Từ hình vẽ ta thấy parabol quay bề lõm lên trên do đó \(a > 0\), loại D.

Các điểm \(\left( { - 2; - 1} \right);\left( { - 3;0} \right)\) thuộc đồ thị hàm số

Thay \(x =  - 2;y =  - 1\) vào hàm số ở A, B, C ta thấy chỉ có hàm số \(y = {x^2} + 4x + 3\) thỏa mãn nên C đúng.

Chọn C

Câu 4 (NB):

Phương pháp:

Hàm số bậc nhất có dạng \(y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)\)

Cách giải:

Ta có \(y = \dfrac{{2x - 2}}{3} = \dfrac{2}{3}x - \dfrac{2}{3}\)  là hàm số bậc nhất nên A đúng.

Chọn A

Câu 5 (TH):

Phương pháp:

Phương trình \(ax + b = 0\) có nghiệm duy nhất khi \(a \ne 0.\)

Cách giải:

Ta có \(\left( {{m^2} - 5} \right)x - 1 = m - x \Leftrightarrow \left( {{m^2} - 4} \right)x - 1 - m = 0\)

Phương trình trên có nghiệm duy nhất \( \Leftrightarrow {m^2} - 4 \ne 0 \Leftrightarrow {m^2} \ne 4 \Leftrightarrow m \ne  \pm 2\)

Chọn D

Câu 6 (TH):

Phương pháp:

Để xác định góc giữa hai véc tơ ta đưa hai véc tơ đó về chung gốc.

Cách giải: 


Ta có: \(\left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {BC} } \right) = {180^0} - \left( {\overrightarrow {BA} ;\overrightarrow {BC} } \right) = {180^0} - \widehat B = {140^0}\)

Chọn A

Câu 7 (TH):

Phương pháp:

Chu vi tam giác bằng tổng ba cạnh.

Cho \(A\left( {{x_1};{y_1}} \right);\,B\left( {{x_2};{y_2}} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2} + {{\left( {{y_2} - {y_1}} \right)}^2}} \)

Cách giải:

Ta có:

\(\begin{array}{l}AB = \sqrt {{{\left( {3 - 1} \right)}^2} + {{\left( {2 - 4} \right)}^2}}  = 2\sqrt 2 \\AC = \sqrt {{{\left( {5 - 1} \right)}^2} + {{\left( {4 - 4} \right)}^2}}  = 4\\BC = \sqrt {{{\left( {5 - 3} \right)}^2} + {{\left( {4 - 2} \right)}^2}}  = 2\sqrt 2 \end{array}\)

Chu vi tam giác \(ABC\) bằng \(AB + BC + AC = 4 + 4\sqrt 2 .\)

Chọn B

Câu 8 (TH):

Phương pháp:

Thế \(y\) ở phương trình thứ nhất xuống phương trình thứ hai, rồi biện luận phương trình ẩn \(y\) tìm được.

Cách giải:

Ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\left( {m - 1} \right)x - y = 2\\ - 2x + my = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \left( {m - 1} \right)x - 2\\ - 2x + m\left( {\left( {m - 1} \right)x - 2} \right) = 1\,\left( * \right)\end{array} \right.\\\left( * \right) \Leftrightarrow  - 2x + \left( {{m^2} - m} \right)x - 2m = 1\\ \Leftrightarrow \left( {{m^2} - m - 2} \right)x = 1 + 2m\,\left( 1 \right)\end{array}\)

Để hệ phương trình vô nghiệm thì phương trình 1 vô nghiệm, nên:

\(\left\{ \begin{array}{l}{m^2} - m - 2 = 0\\1 + 2m \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m =  - 1\\m = 2\end{array} \right.\\m \ne  - \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m =  - 1\\m = 2\end{array} \right.\)

Chọn A

Câu 9 (VD):

Phương pháp:

Tìm giao điểm của hai đường thẳng rồi thay tọa độ giao điểm đó vào phương trình đường thẳng còn lại.

Cách giải:

Xét các đường thẳng: \(\left( {{d_1}} \right):y =  - 5\left( {x + 2} \right);\left( {{d_2}} \right):y = ax + 3;\left( {{d_3}} \right):y = 3x + a\)

Để ba đường thẳng trên cắt nhau thì \(a \ne \left\{ { - 5;3} \right\}\)

Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_3}} \right)\) ta được:

\(\begin{array}{l} - 5\left( {x + 2} \right) = 3x + a \Leftrightarrow  - 5x - 10 = 3x + a\\ \Leftrightarrow 8x =  - a - 10 \Rightarrow x = \dfrac{{ - a - 10}}{8} \Rightarrow y = 3.\dfrac{{ - a - 10}}{8} + a = \dfrac{{5a - 30}}{8}\end{array}\)

Thay \(x = \dfrac{{ - a - 10}}{8};y = \dfrac{{5a - 30}}{8}\)  vào phương trình đường thẳng \(\left( {{d_2}} \right)\) ta được:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{5a - 30}}{8} = a.\dfrac{{ - a - 10}}{8} + 3\\ \Leftrightarrow 5a - 30 =  - {a^2} - 10a + 24\\ \Leftrightarrow {a^2} + 15a - 54 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a =  - 18\left( {tm} \right)\\a = 3\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(a =  - 18.\)

Chọn B

Câu 10 (NB):

Phương pháp:

Dựa vào tính chất hàm số và đồ thị hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\)

Cách giải:

Hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\left( {a < 0} \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - \dfrac{b}{{2a}}} \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \dfrac{b}{{2a}}; + \infty } \right)\)

Nên A, B sai.

Ta chưa kết luận được gì về số giao điểm của đồ thị hàm số đã cho với trục hoành.

Đồ thị hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\) có trục đối xứng là đường thẳng \(x =  - \dfrac{b}{{2a}}\) nên D đúng.

Chọn D.

Câu 11 (VD):

Phương pháp:

Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế.

Cách giải:

Ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - {y^2} = 4\\xy = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{5}{x}\\{x^2} - {\left( {\dfrac{5}{x}} \right)^2} = 4\left( * \right)\end{array} \right.\\\left( * \right) \Leftrightarrow {x^2} - \dfrac{{25}}{{{x^2}}} = 4\\ \Rightarrow {x^4} - 25 = 4{x^2}\\ \Leftrightarrow {x^4} - 4{x^2} - 25 = 0\end{array}\)

Đặt \({x^2} = t \ge 0,\) ta có phương trình: \({t^2} - 4t - 25 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2 + \sqrt {29} \left( {tm} \right)\\t = 2 - \sqrt {29} \left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)

Suy ra \({x^2} = 2 + \sqrt {29}  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \sqrt {2 + \sqrt {29} }  \Rightarrow y = \dfrac{5}{{\sqrt {2 + \sqrt {29} } }}\\x =  - \sqrt {2 + \sqrt {29} }  \Rightarrow y =  - \dfrac{5}{{\sqrt {2 + \sqrt {29} } }}\end{array} \right.\)

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm.

Chọn B.

Câu 12 (TH):

Phương pháp:

Hệ thức Vi-ét:

Nếu \({x_1};{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\) thì ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - \dfrac{b}{a}\\{x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.\)

Cách giải:

Xét phương trình \({x^2} - 3x + 2 = 0\) có \(\Delta  = 1 > 0\) nên có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}.\)

Theo hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 3\\{x_1}{x_2} = 2\end{array} \right.\)

Nên \(x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = {3^2} - 2.2 = 5\)

Chọn C.

Câu 13 (TH):

Phương pháp:

Sử dụng hệ thức \({\sin ^2}a + {\cos ^2}a = 1\,\)

Cách giải:

Ta có \({\sin ^2}\dfrac{\alpha }{3} + {\cos ^2}\dfrac{\alpha }{3} = 1 \Rightarrow {\cos ^2}\dfrac{\alpha }{3} = 1 - {\left( {\dfrac{4}{5}} \right)^2} = \dfrac{9}{{25}}\)

Khi đó: \(P = 3{\sin ^2}\dfrac{\alpha }{3} + 5{\cos ^2}\dfrac{\alpha }{3} = 3.{\left( {\dfrac{4}{5}} \right)^2} + 5.\dfrac{9}{{25}} = \dfrac{{93}}{{25}}\)

Chọn A

Câu 14 (VD):

Phương pháp:

Gọi \(H\left( {x;y} \right)\) là trực tâm tam giác \(ABC\). Sau đó giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC}  = 0\\\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC}  = 0\end{array} \right.\)  để tìm \(x;y \Rightarrow H\)

Cách giải:

Ta có: \(\overrightarrow {BC}  = \left( { - 5; - 2} \right);\,\overrightarrow {AC}  = \left( {3;4} \right)\)

Gọi \(H\left( {x;y} \right)\) là trực tâm tam giác \(ABC\). Suy ra \(\overrightarrow {AH}  = \left( {x + 4;y} \right);\,\overrightarrow {BH}  = \left( {x - 4;y - 6} \right)\)

Khi đó: \(AH \bot BC;\,BH \bot AC\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC}  = 0\\\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC}  = 0\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {x + 4} \right).\left( { - 5} \right) - 2y = 0\\\left( {x - 4} \right).3 + \left( {y - 6} \right).4 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5x + 2y + 20 = 0\\3x + 4y - 36 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{76}}{7}\\y =  - \dfrac{{120}}{7}\end{array} \right.\end{array}\)

Suy ra \(H\left( {\dfrac{{76}}{7}; - \dfrac{{120}}{7}} \right)\)

Chọn A.

Câu 15 (VD):

Phương pháp:

Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

Cách giải:

Ta có:

 \(\begin{array}{l}DK:\,x \ne 0;y \ne 0\\\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{3}{x} + \dfrac{2}{y} = 12\\\dfrac{5}{x} - \dfrac{3}{y} = 1\end{array} \right.\,\,\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{9}{x} + \dfrac{6}{y} = 36\\\dfrac{{10}}{x} - \dfrac{6}{y} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{3}{x} + \dfrac{2}{y} = 12\\\dfrac{{19}}{x} = 38\end{array} \right.\,\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{2}\\\dfrac{2}{y} = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{2}\\y = \dfrac{1}{3}\end{array} \right.\left( {tm} \right)\end{array}\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{3}} \right)\)

Chọn C

Câu 16 (TH):

Phương pháp:

Rút \(y\) ở phương trình thứ nhất thế vào phương trình thứ hai rồi biện luận theo phương trình ẩn \(x\) thu được.

Cách giải:

Ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}mx + y = m - 3\\4x + my =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = m - 3 - mx\\4x + m\left( {m - 3 - mx} \right) =  - 2\left( * \right)\end{array} \right.\\\left( * \right) \Rightarrow 4x - {m^2}x + {m^2} - 3m =  - 2\\ \Leftrightarrow \left( {{m^2} - 4} \right)x = {m^2} - 3m + 2\end{array}\)

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi \({m^2} - 4 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne  \pm 2.\)

Chọn B

Câu 17 (TH):

Phương pháp:

Thay tọa độ các điểm ở đáp án vào hàm số để chọn.

Điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) thuộc đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) \Leftrightarrow {y_0} = f\left( {{x_0}} \right)\)

Cách giải:

Thay tọa độ điểm \(C\left( { - 2;5} \right)\) vào hàm số ta được: \(5 = \left| {2.{{\left( { - 2} \right)}^2} - 3} \right| \Leftrightarrow 5 = 5\left( {ld} \right)\)  nên điểm \(C\left( { - 2;5} \right)\) thuộc đồ thị hàm số đã cho.

Chọn C

Câu 18 (TH):

Phương pháp:

Đồ thị hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\,\left( {a \ne 0} \right)\)có trục đối xứng \(x =  - \dfrac{b}{{2a}}\), có đỉnh là điểm \(I\left( { - \dfrac{b}{{2a}}; - \dfrac{\Delta }{{4a}}} \right)\)

Cách giải:

Đồ thị hàm số \(y = 2{x^2} - 4x + 3\) có trục đối xứng \(x = 1,\) có đỉnh là \(I\left( {1;1} \right)\) nên A đúng, B sai.

Phương trình \(2{x^2} - 4x + 3 = 0\) vô nghiêm do có \(\Delta  =  - 4 < 0\) nên đồ thị hàm số \(y = 2{x^2} - 4x + 3\) không có giao điểm với trục hoành. Do đó, C đúng.

Thay \(x =  - 1\) vào hàm số ta được \(y = 2.{\left( { - 1} \right)^2} - 4.\left( { - 1} \right) + 3 = 9\) nên điểm \(M\left( { - 1;9} \right)\) thuộc đồ thị hàm số \(y = 2{x^2} - 4x + 3.\) Do đó, D đúng.

Chọn B.

Câu 19 (VD):

Phương pháp:

Đường thẳng đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) và có VTPT \(\overrightarrow n  = \left( {a;b} \right)\) có phương trình tổng quát là:

\(a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) = 0\)

Cách giải:

\(\overrightarrow {BC}  = \left( { - 3; - 2} \right)\) là 1 VTCP của đường thẳng \(d\)

Suy ra 1 VTPT của đường thẳng \(d\) là: \(\overrightarrow n \left( {2; - 3} \right)\)

Phương trình tổng quát của đường thẳng \(d:2\left( {x - 2} \right) - 3y = 0 \Leftrightarrow 2x - 3y - 4 = 0\)

Chọn A

Câu 20 (TH):

Phương pháp:

Hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\,\left( {a < 0} \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - \dfrac{b}{{2a}}} \right)\)

Hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\,\left( {a > 0} \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \dfrac{b}{{2a}}; + \infty } \right)\)

Cách giải:

Từ yêu cầu đề bài ta suy ra hàm số cần tìm có hệ số \(a < 0\) nên loại A và B.

Hàm số \(y =  - \sqrt 2 {\left( {x + 1} \right)^2} =  - \sqrt 2 {x^2} - 2\sqrt 2 x - \sqrt 2 \) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) nên C sai.

Hàm số \(y =  - \sqrt 2 {x^2} + 1\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) nên D đúng.

Chọn D.

Câu 21 (TH):

Phương pháp:

Phương trình đường thẳng \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\end{array} \right.\)  có 1 VTCP là \(\overrightarrow u  = \left( {a;b} \right)\) và có 1 VTPT là \(\overrightarrow n  = \left( {b; - a} \right)\)

Cách giải:

1 VTCP của đường thẳng là \(\overrightarrow u  = \left( {2;1} \right)\) suy ra 1 VTPT là \(\overrightarrow n  = \left( {1; - 2} \right)\).

Chọn B.

Câu 22 (VD):

Phương pháp:

Đặt \({x^2} = t \ge 0\) rồi đưa về phương trình bậc hai. Từ đó tìm được số nghiệm của phương trình đã cho.

Cách giải:

Đặt \({x^2} = t \ge 0\) ta được phương trình:

\(\left( {1 - \sqrt 2 } \right){t^2} - \left( {\sqrt 2  - \sqrt 3 } \right)t + \sqrt 3  = 0\)

Phương trình trên có \(ac = \left( {1 - \sqrt 2 } \right).\sqrt 3  < 0\) nên có hai nghiệm trái dấu \({t_1} < 0\left( L \right);{t_2} > 0\left( N \right)\)

Thay lại cách đặt ta được \({x^2} = {t_2} \Rightarrow x =  \pm \sqrt {{t_2}} \)  hay phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt.

Chọn A

Câu 23 (VD):

Phương pháp:

\(ABDC\) là hình bình hành khi \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {CD} \)

Hai véc tơ bằng nhau khi hoành độ bằng nhau và tung độ bằng nhau.

Cách giải:

Gọi \(D\left( {x;y} \right) \Rightarrow \overrightarrow {CD}  = \left( {x - 4;y - 3} \right)\); \(\overrightarrow {AB}  = \left( {1; - 2} \right)\)

Để \(ABDC\) là hình bình hành thì \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {CD} \)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 4 = 1\\y - 3 =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = 1\end{array} \right.\)  nên \(D\left( {5;1} \right)\)

Chọn D

Câu 24 (TH):

Phương pháp:

Sử dụng công thức diện tích \({S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.AC\sin A\)

Cách giải:

Ta có: \({S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.AC\sin A\) nên \(\sin A = \dfrac{{2{S_{ABC}}}}{{AB.AC}} = \dfrac{{2.64}}{{8.20}} = \dfrac{4}{5}.\)

Chọn C.

Câu 25 (TH):

Phương pháp:

Hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\) với \(a > 0\) nghịch biến trên \(\left( { - \infty ; - \dfrac{b}{{2a}}} \right)\) và đồng biến trên \(\left( { - \dfrac{b}{{2a}}; + \infty } \right)\)

Cách giải:

Trục đối xứng \(x =  - \dfrac{b}{{2a}} = 1\)

Đỉnh parabol \(I\left( {1;3} \right)\)

Vì \(a = 2 > 0\) nên hàm số nghịch biến trên \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và đồng biến trên \(\left( {1; + \infty } \right)\)

Ta có BBT:

Chọn B.

PHẦN II: TỰ LUẬN

Câu 1:

Phương pháp:

a) Phá dấu giá trị tuyệt đối và giải phương trình thu được.

b) Đặt \(t = {x^2}\) và giải phương trình.

c) Trừ vế với vế các phương trình đưa về dạng tích.

Cách giải:

a) \(\left| {1 - 2x} \right| - \left| {x + 1} \right| = 7\) \( \Leftrightarrow \left| {2x - 1} \right| - \left| {x + 1} \right| = 7\)

+) Nếu \(x \ge \dfrac{1}{2}\) thì:

\(\begin{array}{l}\left| {2x - 1} \right| - \left| {x + 1} \right| = 7\\ \Leftrightarrow \left( {2x - 1} \right) - \left( {x + 1} \right) = 7\\ \Leftrightarrow 2x - 1 - x - 1 = 7\\ \Leftrightarrow x - 2 = 7\\ \Leftrightarrow x = 7\left( {TM} \right)\end{array}\)

+) Nếu \( - 1 < x < \dfrac{1}{2}\) thì:

\(\begin{array}{l}\left| {2x - 1} \right| - \left| {x + 1} \right| = 7\\ \Leftrightarrow \left( { - 2x + 1} \right) - \left( {x + 1} \right) = 7\\ \Leftrightarrow  - 2x + 1 - x - 1 = 7\\ \Leftrightarrow  - 3x = 7 \Leftrightarrow x =  - \dfrac{7}{3}\left( {KTM} \right)\end{array}\)

+) Nếu \(x \le  - 1\) thì:

\(\begin{array}{l}\left| {2x - 1} \right| - \left| {x + 1} \right| = 7\\ \Leftrightarrow \left( { - 2x + 1} \right) - \left( { - x - 1} \right) = 7\\ \Leftrightarrow  - 2x + 1 + x + 1 = 7\\ \Leftrightarrow  - x + 2 = 7 \Leftrightarrow x =  - 5\left( {TM} \right)\end{array}\)

Vậy phương trình có tập nghiệm \(S = \left\{ {9; - 5} \right\}\)

b) \({x^4} + 2{x^2} - 3 = 0\)

Đặt \(t = {x^2} \ge 0\) ta được:

\({t^2} + 2t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left( {t - 1} \right)\left( {t + 3} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t - 1 = 0\\t + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\left( {TM} \right)\\t =  - 3\left( {KTM} \right)\end{array} \right.\)

Suy ra \({x^2} = 1 \Leftrightarrow x =  \pm 1\).

Vậy phương trình có tập nghiệm \(S = \left\{ { \pm 1} \right\}\).

c) \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} = 3x + 2y\,\,\left( 1 \right)\\{y^2} = 3y + 2x\end{array} \right.\)

Trừ hai phương trình vế với vế ta được:

\({x^2} - {y^2} = x - y\) \( \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right) - \left( {x - y} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {x + y - 1} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - y = 0\\x + y - 1 = 0\end{array} \right.\) 

+) Nếu \(x - y = 0 \Leftrightarrow y = x\) thay vào \(\left( 1 \right)\) ta được:

\({x^2} = 3x + 2x \Leftrightarrow {x^2} - 5x = 0\) \( \Leftrightarrow x\left( {x - 5} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow y = 0\\x = 5 \Rightarrow y = 5\end{array} \right.\)

+) Nếu \(x + y - 1 = 0 \Leftrightarrow y = 1 - x\) thay vào \(\left( 1 \right)\) ta được:

\({x^2} = 3x + 2\left( {1 - x} \right)\) \( \Leftrightarrow {x^2} = x + 2\) \( \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1 \Rightarrow y = 3\\x = 2 \Rightarrow y =  - 1\end{array} \right.\)

Vậy hệ có nghiệm \(\left( {x,y} \right) \in \left\{ {\left( {0;0} \right),\left( {5;5} \right),\left( { - 1;3} \right),\left( {2; - 1} \right)} \right\}\).

Câu 2:

Phương pháp:

Sử dụng lý thuyết hàm số bậc hai:

- Trục đối xứng \(x =  - \dfrac{b}{{2a}}\).

- Điểm \(M \in \left( P \right)\) thì tọa độ của \(M\) thỏa mãn công thức hàm số của \(\left( P \right)\).

Cách giải:

- Trục đối xứng \(x =  - 2\) nên \( - \dfrac{b}{{2a}} =  - 2 \Leftrightarrow b = 4a\) (1)

- Đồ thị đi qua \(A\left( { - 1;9} \right)\) nên \(9 = a.{\left( { - 1} \right)^2} + b.\left( { - 1} \right) + 3\) \( \Leftrightarrow a - b = 6\) (2)

Thay (1) vào (2) ta có: \(a - 4a = 6 \Leftrightarrow  - 3a = 6 \Leftrightarrow a =  - 2\).

Suy ra \(b = 4.\left( { - 2} \right) =  - 8\).

Vậy hàm số \(y =  - 2{x^2} - 8x + 3\).

Câu 3:

Phương pháp:

a) Phương trình đường thẳng đi qua điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) và nhận \(\overrightarrow n  = \left( {a;b} \right)\) làm VTPT là \(a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) = 0\).

b) Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác.

Cách giải:

a) Ta có: \(\overrightarrow {BC}  = \left( {7; - 1} \right)\).

Đường thẳng qua \(A\left( {4;2} \right)\) và song song \(BC\) nên nhận \(\overrightarrow n  = \left( {1;7} \right)\) làm VTPT.

Vậy \(1\left( {x - 4} \right) + 7\left( {y - 2} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow x + 7y - 18 = 0\).

b) Áp dụng định lí sin trong tam giác \(MNP\) ta có:

\(\dfrac{{NP}}{{\sin \widehat M}} = \dfrac{{MN}}{{\sin \widehat P}}\) \( \Rightarrow \dfrac{7}{{\sin {{60}^0}}} = \dfrac{6}{{\sin \widehat P}}\) \( \Leftrightarrow \sin \widehat P = \dfrac{{6.\sin {{60}^0}}}{7} = \dfrac{{3\sqrt 3 }}{7}\) \( \Rightarrow \widehat P \approx {48^0}\).

Lại có \(\widehat M + \widehat N + \widehat P = {180^0}\) nên \(\widehat N = {180^0} - \widehat M - \widehat P\) \( \approx {180^0} - {60^0} - {48^0} = {72^0}\).

Vậy \(\widehat P \approx {48^0},\widehat N \approx {72^0}\).

Loigiaihay.com

Quảng cáo

Gửi bài tập - Có ngay lời giải