Bài 3.33 trang 131 SBT đại số và giải tích 11

Giải bài 3.33 trang 131 sách bài tập đại số và giải tích 11. Cho dãy số...

Đề bài

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right):\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 0\\{u_{n + 1}} = \dfrac{{2{u_n} + 3}}{{{u_n} + 4}}{\rm{ voi }}n \ge 1.\end{array} \right.\)

a) Lập dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) với \({x_n} = \dfrac{{{u_n} - 1}}{{{u_n} + 3}}.\) Chứng minh dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) là cấp số nhân.

b) Tìm công thức tính \({x_n},{u_n}\) theo n.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Xét tỉ số \(\dfrac{{{x_{n + 1}}}}{{{x_n}}}\) và chứng minh \(\dfrac{{{x_{n + 1}}}}{{{x_n}}} = q\) không đổi.

b) Từ đó suy ra công thức của số hạng tổng quát \({x_n}\) và suy ra \({u_n}\).

Lời giải chi tiết

Từ giả thiết có

\({u_{n + 1}}\left( {{u_n} + 4} \right) = 2{u_n} + 3\) hay \({u_{n + 1}}.{u_n} + 4{u_{n + 1}} = 2{u_n} + 3{\rm{   }}\left( 1 \right)\)

Lập tỉ số \(\dfrac{{{x_{n + 1}}}}{{{x_n}}} = \dfrac{{{u_{n + 1}} - 1}}{{{u_{n + 1}} + 3}}.\dfrac{{{u_n} + 3}}{{{u_n} - 1}}\) \( = \dfrac{{{u_{n + 1}}{u_n} + 3{u_{n + 1}} - {u_n} - 3}}{{{u_{n + 1}}{u_n} - {u_{n + 1}} + 3{u_n} - 3}}{\rm{  }}\left( 2 \right)\)

Từ (1) suy ra \({u_{n + 1}}.{u_n} = 2{u_n} + 3 - 4{u_{n + 1,}}\) thay vào (2) ta được

\(\dfrac{{{x_{n + 1}}}}{{{x_n}}}\)\( = \dfrac{{2{u_n} + 3 - 4{u_{n + 1}} + 3{u_{n + 1}} - {u_n} - 3}}{{2{u_n} + 3 - 4{u_{n + 1}} - {u_{n + 1}} + 3{u_n} - 3}}\) \( = \dfrac{{{u_n} - {u_{n + 1}}}}{{5\left( {{u_n} - {u_{n + 1}}} \right)}} = \dfrac{1}{5}.\)

Vậy \({x_{n + 1}} = \dfrac{1}{5}{x_n},\) ta có cấp số nhân \(\left( {{x_n}} \right)\) với \(q = \dfrac{1}{5}\) và \({x_1} =  - \dfrac{1}{3}.\)

Ta có \({x_n} =  - \dfrac{1}{3}{\left( {\dfrac{1}{5}} \right)^{n - 1}}.\)

Từ đó tìm được \({u_n} = \dfrac{{3{x_n} - 1}}{{1 - {x_n}}} = \dfrac{{ - {{\left( {\dfrac{1}{5}} \right)}^{n - 1}} - 1}}{{1 + \dfrac{1}{3}{{\left( {\dfrac{1}{5}} \right)}^{n - 1}}}}\) \( = \dfrac{{{{\left( {\dfrac{1}{5}} \right)}^{n - 1}} + 1}}{{\dfrac{1}{3}{{\left( {\dfrac{1}{5}} \right)}^{n - 1}} + 1}}.\)

Loigiaihay.com

Xem thêm tại đây: Bài 4: Cấp số nhân
?>
Gửi bài tập - Có ngay lời giải