Bài 2 trang 113 Vở bài tập toán 7 tập 2

Giải bài 2 trang 113, 114 VBT toán 7 tập 2. Cho góc vuông xOy, điểm A thuộc tia Ox, điểm B thuộc tia Oy. Đường trung trực của đoạn thẳng OA cắt Ox ở D, đường trung trực ...

Đề bài

Cho góc vuông \(xOy\), điểm \(A\) thuộc tia \(Ox\), điểm \(B\) thuộc tia \(Oy.\) Đường trung trực của đoạn thẳng \(OA\) cắt \(Ox\) ở \(D\), đường thẳng trung trực của đoạn thẳng \(OB\) cắt \(Oy\) ở \(E.\) Gọi \(C\) là giao điểm của hai đường trung trực đó. Chứng minh rằng:

a) \(CE = OD\);                b) \(CE ⊥ CD\);

c) \(CA = CB\);                 d) \(CA // DE\);

e) Ba điểm \(A, B, C\) thẳng hàng.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Áp dụng tính chất: Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.

- Áp dụng tính chất: Nếu đường thẳng \(c\) cắt hai đường thẳng \(a, b\) và trong các góc tạo thành có một cặp góc so le trong bằng nhau (hoặc một cặp góc đồng vị bằng nhau) thì \(a\) và \(b\) song song với nhau.

- Áp dụng tiên đề Ơ-clit: Qua một điểm ở ngoài đường thẳng chỉ có một đường thẳng song song với đường thẳng đó.

- Áp dụng định lí: Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó.

Lời giải chi tiết

 

a) Nối \(ED\). Ta có  \( EC // OD\) (vì cùng vuông góc với \(OB\)) nên \(\widehat {E_2}\)\(= \widehat {D_1}\) (so le trong).

Tương tự, ta cũng có \(DC // OE\) nên \(\widehat {E_1}\)\(= \widehat {D_2}\).

Xét  \(\Delta DOE\) và \(\Delta ECD\), chúng có:

\(\widehat {E_1}\)\(= \widehat {D_2}\); cạnh \(DE\) chung; \(\widehat {D_1}\)\(= \widehat {E_2}\)

Do đó \(\Delta DOE = \Delta ECD\)  (g.c.g). Suy ra \(CE=OD\).

b) Cũng do \(\Delta DOE = \Delta ECD\) (chứng minh trên) ta còn suy ra \(\widehat {O}\)\(= \widehat {ECD}\) mà \(\widehat {O}=90^{\circ}\) nên \(\widehat {ECD}=90^{\circ}\). Vậy \(CE \perp CD\).

c) Xét \(\Delta CDA\) và \(\Delta BEC\). Chúng có :

\(AD=CE,\) (cùng bằng \(OD\)); \(\widehat {CDA}\)\(= \widehat {BEC}=90^{\circ}\), \(CD=BE\) (cùng bằng \(EO\) do \(\Delta DOE = \Delta ECD\)). Do đó \(\Delta CDA\) \(=\Delta BEC\) (c-g-c). Suy ra \(CA=CB\).

d) Xét \(\Delta CDA\) và \(\Delta DCE\). Chúng có:

\( AD = CE\), \( \widehat {CDA} = \widehat {ECD} = 90^o \), cạnh \(CD\) chung.

Do đó \(∆CDA = ∆DCE\) (c.g.c) suy ra \(\widehat {C_1} = \widehat {D_2}\). Do đó \(CA // DE\) (vì có hai góc so le trong bằng nhau)

e) Tương tự câu d) ta có \(CB // DE\). Như vậy qua điểm \(C\) có \(CA\) và \(CB\) cùng song song với \(DE\) nên theo tiên đề Ơclit, hai đường thẳng \(CA\) và \(CB\) trùng nhau. Do đó \(A, B, C\) là ba điểm thẳng hàng.

Loigiaihay.com

Quảng cáo

Gửi bài