Đề bài

Cho tam giác đều $ABC$ cạnh bằng $a$ , các đường cao là $BM$ và $CN$ . Gọi $D$ là trung điểm cạnh $BC$ .

Gọi $G$ là giao điểm của $BM$ và $CN$ . Xác định vị trí tương đối của điểm $G$ và điểm $A$ với đường tròn tìm được ở ý trước.

• A.

  Điểm $G$ nằm ngoài đường tròn; điểm $A$ nằm trong đường tròn

• B.

  Điểm $G$ nằm trong  đường tròn; điểm $A$ nằm ngoài đường tròn

• C.

  Điểm $G$ và $A$ cùng nằm trên đường tròn

• D.

  Điểm $G$ và $A$ cùng nằm ngoài  đường tròn

Đáp án : B

Phương pháp giải

Sử dụng vị trí tương đối  giữa điểm và đường tròn.

Cho điểm $M$  và đường tròn $\left( {O;R} \right)$ ta so sánh khoảng cách $OM$ với bán kính $R$ để xác định vị trí tương đối theo bảng sau:

Vị trí tương đối	Hệ thức
M nằm trên đường tròn $\left( O \right)$	\(OM = R\)
M nằm trong đường tròn $\left( O \right)$	\(OM < R\)
M nằm ngoài đường tròn $\left( O \right)$	\(OM > R\)

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Từ câu trước ta xác định vị trí tương đối của  điểm $G$ với đường tròn tâm $D$ bán kính $\dfrac{{BC}}{2}$.

Gọi cạnh của tam giác đều $ABC$ là $a$.$\left( {a > 0} \right)$

Ta có $G$ là trực tâm $\Delta ABC$ nên $G$ cũng là trọng tâm $\Delta ABC$ suy ra $GD = \dfrac{1}{3}AG$.

$D$ là trung điểm $BC \Rightarrow AD \bot BD$; $DC = \dfrac{{BC}}{2} = \dfrac{a}{2}$

Theo định lý Pytago cho tam giác vuông $ADC$ ta có $AD = \sqrt {A{C^2} - D{C^2}}  = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}$$ \Rightarrow GD = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}$

Nhận thấy $GD = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6} < \dfrac{a}{2} = \dfrac{{BC}}{2}$ nên điểm $G$ nằm trong đường tròn tâm $D$ bán kính $\dfrac{{BC}}{2}$.

Và $AD = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} > \dfrac{a}{2} = \dfrac{{BC}}{2}$ nên điểm $A$ nằm ngoài đường tròn tâm $D$ bán kính $\dfrac{{BC}}{2}$.